23. Связь между решениями прямой и двойственной злп.

Рассм., как по решению прямой задачи выписать решение двойственной и наоборот.

Замечание! Теория двойственности часто применяется, когда кол-во переменных прямой задачи достаточно велико, а число прямых ограничений не велико.

Н-р, если матрица , тогда двойственная задача имеет 2 переменные , а ограничений 10. Эту задачу можно решить графически.

1. Построение решения двойственной задачи по решению прямой.

Пусть –оптимальный базисный план прямой задачи, найденный симплекс-методом, с базисной матрицей . Справедлива лемма.

Лемма. Если –оптимальный базисный план прямой задачи, то оптимальный базисный план двойств. Задачи и находится он по формуле:

1. лемма даёт способ получить решение двойственной задачи по решению прямой.

!!!(из последней таблицы выписывают . выбирается из первоначальной таблицы с учетом порядка .

2. можно воспользоваться формулами для оценок:

(1)

Формулы (1) представляют собой сис-му для определения координат вектора u, кот. и явл. решением двойственной задачи (столбцы выбираются из первоначальной таблицы, из последней таблицы).

2. Решения прямой задачи по решению двойственной.

Пусть двойственная задача имеет 2 переменные и двойственную задачу решали графически

(2)

- угловая точка множестваY, а значит явл. базисным планом.

Графически получили, что - это оптимальный базисный план.

, т.к.

Тогда двойственной задачи будет равна

.

Тогда

Добавляя вектором получаем оптимальный базисный план исходной задачи . (прямой задачи)

25. Двойственная задача к тз. Методы построения нач. Пл. Достат. Условие оптим. Плана перевозок. Метод потенциалов решения транспортной задачи в матричной форме.

Задача, двойственная задаче (1)-(4):

(1); (2);

(3); (4)

имеет вид: ,

(5).

Построение начального базисного плана. Если сложить все ур-ния (2), то получим ур-ние, совпадающее с суммой ур-ний формул (3), значит одно из ур-ний в с-ме (2)-(3) явл. линейной комбинацией остальных. В сис-ме (2)-(3) число линейно-независимых , значит базисное решение содержит не более базисных компонент. В транспортной задаче в отличии от задачи линейного программирования при построении первоначального базисного плана используют своеобразные приемы построения базисного плана. Рассмотрим два способа выбора первоначального базисного плана.

1. Метод северо-западного угла. Метод состоит в том, что начиная с первого пункта отправления и первого пункта назначения (левый верхний угол) в порядке возрастания произв-ся одна из двух операций: либо полностью вывозится продукт из пункта отправления, либо полностью удовлетворяется спрос в пункте назначения.

2. Метод минимального элемента. Для построения первоначального базисного плана выбирается клетка с минимальным , производится максимально возможная перевозка. Снова выбирается мин. и заполняются клетки таблицы. Пустые клетки не заполняем нулями, они считаются небазисными. Этот метод считается более эффективным, чем метод северо-западного угла, поскольку за меньшее кол-во итераций позволяет перейти к оптимальному базисному плану.

Критерий оптимальности базисного плана.

Теорема. Базисное решение, , явл. оптим-ым базисным планом задачи (1)-(4) т.и т.т., когда сущ-ют такие числа что для коэффициентов i,j соответствующих базисным компонентам вып-ся условия: (6), а для небазисных компонент выполн.условие: (7).

Д-во. (необх) Пусть - оптимальный базисный план задачи (1)-(4). Согласно двойственному критерию оптимальности существуют такие числа

, что выполняются условия:

(8)

Покажем, что для базисных компанент выполняется условие (6), для этого выпишем равенство

(9) Из формулы (9) и (8) , что для базисных компонент в формуле (9) первый множитель первого слагаемого должен быть равен 0, зн. может выполнятся условие (6). Для небазисных компанент , зн. может выполнятся условие (7).

(достат). Пусть - некоторое базисное решение и соотв-щие ему двойст-ые переменные. С учётом (6), (7) из преобразований (9) получаем (8).

Числа наз-ся потенциалами, а метод решения транспортной задачи основ-ный на критерии оптим-ти наз-ся методом потенциалов.

Метод потенциалов решения ТЗ.

Процесс решения ТЗ оформляется в виде таблиц ( ). Заполненные клетки будут относится к базисным. В процессе решения в таблице составляется так называемый цикл, который определяется условиями:

1. Началом цикла явл-ся клетка с коорд-ми (s,r), кот. не принадлежит базисным компонентам;

2. Цикл явл-ся замкнутой ломаной, вершинами которой явл-ся, кроме первой (s,r) клетки, базисные клетки и звенья которой соединяются под <90⁰;

3. В любом столбце и любой строке, содержащих клетки цикла, имеется только 2 вершины цикла;

4. Начальная клетка цикла помечается знаком «+», остальные клетки – зн.«+»и«–» в порядке чередования.

Соответствующие элементы вектора отмечаются или .

Алгоритм метода потенциалов:

1. Строим начальный базисный план.

2. Проверяем его на оптимальность, для этого вычисляем потенциалы согласно формуле (6)(либо ). По формулам проверяем выполнение критерия оптимальности.

3. Если для небазисных клеток условие (7) выполняется, то - оптимальный базисный план. Если же для каких-то критерий оптимальности не выполняется, то строят замкнутый цикл, кот. позволяет перевести одну базисную компоненту в небазисную и наоборот.

4. Наиболее потенциальной явл. клетка, где минимальное отрицательное , где . Строим цикл с исходной точкой в такой клетке.

5. Выберем клеточки отмеченные знаком «-». Найдем минимальное из этих клеток. Это - оценка. Увеличим в клетках со знаком «+» на , уменьшим в клетках со знаком «-» на