19. Итерация симплекс-метода.

Рассмотрим ЗЛП в канонической форме:

. (1)

Переход от плана x к плану наз-ся симплексной итерацией.

1. Строим базисный план x (первоначальный,

).

2. Проверяем его на оптимальность, т.е. вычислим дельта оценки:

3. Если , для x, то х – оптимальный базисный план задачи (1).

4. Если критерий оптимальности для задачи (1) по компоненте j₀ не выполняется, т.е. , то проверяем дост. условие неразрешимости задачи. В случае, если , то целевая ф-ция неогран. возрастает и задача (1) не имеет решений.

5. Если критерий оптимальности по компоненте j₀ не выполняется и не выполняется дост. условие неразрешимости ЗЛП, то будем строить след. план по формуле .

Замечание! Если критерий оптимальности не выполняется по нескольким компонентам, то выбирают минимальное

6. Вычисляем – оценки , только для для тех .

Если получилось несколько, то выбирают наименьший из них.

Если для вычисления приходится делить на ноль или на отрицательное число, то в соответствующие клеточки ставят « – ».

7. Для пересчета базисного плана используют формулы

,

Тогда в базисных индексах удаляется элемент с индексом вводится элемент с номером с точностью до наоборот идет перестановка внебазисных компонентах. Процесс повторяется до тех пор, пока не выполнится критерий оптимальности и не будет показано, что задача не имеет решения.

Послед-ть симплексных итераций от нач-го базис-го плана до оптимального базисного плана составляет симплекс-метод.

21. Двухфазный симплекс-метод.

До сих пор рассматривали симплекс-метод, не явно предполагая выполнения след. условий:

1) система ограничений непротиворечива;

2) среди ограничений нет линейно-зависимых, т.е. ранг матрицы А равен n;

3) начальный базисный план известен, или его легко построить.

Если какое-то из условий не вып-ся, или неизвестно вып-ся ли, то 1-нофазным симплекс-методом пользоваться нельзя. Будем исп-ть 2-хфазный симплекс-метод. На 1-ой фазе 2-хфазного симплекс-метода для задачи ЛП записанной в канонической форме решается вспомогат. задача:

(1),

где - вектор искусственных переменных, e – вектор, компонентами которого являются единицы.

Задачу (1) можно решить 1-нофазным симплекс-методом, в качестве начального базисного плана выбрав вектор небазисными компонентами которого явл. x

Пусть вектор - решение задачи 1-ой фазы. Справедлива Лемма:

Лемма. Для существования базисного плана канон-ской формы ЗЛП необх. и достат., чтобы в решении задачи 1-ой фазы .

Замечание! При решении ЗЛП может получиться так, что необх. вводить и вектор (для приведения задачи к канонической форме) и вектор

После решения задачи первой фазы возможны след. случаи:

1. , это означает, что невозможно составить первоначальный базисный план канонической формы ЗЛП значит, ограничения задачи противоречивы и задача не имеет решения;

2. (среди базисных компонент есть искусственные). Тогда вектор можно взять в качестве начального базисного плана для решения ЗЛП в канонической форме (во вторую фазу из таблицы первой фазы возьмем основную часть).

3. , (среди базисных компонент нет искусственных), т.е. получили случай, когда искусственные индексы нужно удалить из базисных. Пусть индекс , тогда пересматриваем компоненты . Если найдётся такой индекс будет означать, что строка с индексом является линейной комбинацией других строк, тогда строку с номером из таблицы убираем, убираем соответствующий индексу . Тогда базисная матрица будет иметь размер .

Т.о. 2-хфазный симплекс-метод для любой ЗЛП позволяет:

1. установить противоречивость ограничений;

2. удалить линейно-зависимые ограничения;

3. построить первоначальный базисный план, п.1) – 3) можно выяснить с помощью 1-ой фазы;

4. начиная с начального базисного плана найти оптимальный базисный план;

5. установить, что целевая функция неограниченно возрастает и задача не имеет решения.

п.4) – 5) устанавливаются с помощью 2–ой фазы.