7. Обобщенное правило множителей Лагранжа в задаче с ограничениями типа равенств.

По параметрам задачи

(1)

- m вектор-функция,

, i=1, …,m.

построим обобщенную функцию Лагранжа

(2) где – скаляр ( ),

– (m+1) вектор наз. обобщенный вектор множителей Лагранжа, - вектор множителей Лагранжа, , i=1, …,n. - множители Лагранжа.

.(Обобщенное правило множителей Лагранжа) Если точка условного лок. минимума задачи (1), то существует ненулевой вектор множителей Лагранжа такой, что (*)

Док-во. Будем говорить, что вектор соответствует точке Распишем формулу (2).

(3)

Так как вектор ненулевой, то векторы

явл. линейно зависимы.(следует из формулы (3))

Доказываем теорему от противного.

Пусть условие (*) не выполняется, т.е. соответствующие векторы линейно независимы. Используем теорему о неявной ф-ции:

Теорема (о неявной ф-ции). Пусть . Ф-ция g(y,z) определена непр. и дифференцируема в некоторой окрестности точки (a,b), причем выполн. Условия

1. 

2. det , тогда существует ф-ция h(z)=y, что в - окрестности точки (a;b) выполняются условия:

1. h(b)=a;

2. 

Рассмотрим систему

Приведем её к виду ф-ции g(y,z)

Тогда ф-ция g имеет вид

Для такой функции выполняются условия теоремы о неявной ф-ции, если в качестве точки (a,b) взять точку ( ). Действительно:

1. 

2. det , (т.к. по нашему предположению векторы лин. независимы), тогда по теореме о неявной ф-ции в окрестности точки определена ф-ция Положим <0

Получили противоречие!!! Потому что - т.условного локального минимума, что доказывает справедливость формулы (*).

9. Необх. Условия оптимальности 2-го порядка в задаче условной оптимизации с огранич. Типа равенств.

ЗУО имеет вид (1)

- m вектор-функция,

Пусть , i=1, …,m

Опр. Вектор l (его размерность n) наз. допустимым по ограничению в точке , если выполняются условия: .

Опр. Вектор l наз. допустимым по ограничениям в точке , если он явл. допустимым по каждому i-тому ограничению в точке Кратко такой вектор наз. касательным направлением.

Теорема (необх. условие локальной оптим-ти 2-го порядка)

Если - обыкновенная точка лок. минимума задачи (1), то существует такой вектор множителей Лагранжа что при неотрицательна квадратичная форма

.

−ва нету.

11.Необх. Условия оптимальности 1-го порядка для гладких задач на условный минимум с огранич. Типа нер-в. Классич. И обобщённое правило множителей Лагранжа.

Задача вида (1) наз. задачей УО с ограничениями типа неравенств.

Определение. Ограничение называется активным в точке , если , и пассивным в точке , если .

Определение. Точка такая, что наз. точкой локального минимума.

Лемма. Каждая задача условной оптимизации с ограничениями типа неравенств эквивалентна задаче с ограничениями типа равенств вида

(2)

Это означает, что точка будет решением задачи (1) тогда и только тогда, когда точка будет решением задачи (2).

Пусть , i=1, …,m

Определение. Точку назовём обыкновенной допустимой точкой при ограничениях , если векторы , где , линейно независимы для ограничений, в кот. выполняется

Функция Лагранжа для задачи (2) имеет вид:

По правилу множителей Лагранжа для точки минимума существует единственный вектор множителей Лагранжа такой, что

(3)

(4)

Для исходной задачи с огран. типа нер-в (для задачи (1)) ограничение (3) будет иметь тот же вид, а условия (4) будут равносильны условию

или иначе множитель Лагранжа соответствующий ограничению пассивному в точке равен нулю.

Наоборот, если некот. Множитель Лагранжа неравен 0, то соотв. Ограничение активно в т. .

Теорема (обобщённое правило множителей Лагранжа). Для каждого локально оптимального плана задачи (1) существует обобщённый вектор множителей Лагранжа такой, что:

1. выполняется условие неотрицательности ;

2. выполняется условие стационарности ;

3. выполняется условие дополняющей нежёсткости

.

Теорема (классическое правило множителей Лагранжа).

Для любого обыкновенного локального оптимального плана задачи (1) существует вектор множителей Лагранжа , для которого выполняются условия:

1. неотрицательности ;

2. ;