51. Задача Больца.
Пусть
.
Задачей Больца наз. задача ВИ, имеющая
вид
(1)
где
-
некоторая заданная ф-ция.
Т.
(необх. усл. оптимальности) Если
-
слабая минималь в задаче (1), то выполняются:
1)
Дифференциальное ур-е Эйлера
;
2)
Условие трансверсальности (усл. на
концах отрезка):
(2)
Д-во:
Диф-ное ур-е Эйлера получалось из условия
.
В нашем случае
Это
соотношение
,
согласно
общему необх.условию оптимальности
должно выполняться на слабой минимали
с любой вариацией
в том числе и для вариации, удовлетворяющей
условию
Тогда получаем, что
Применим
лемму Лагранжа (пусть
,
где
-
непрерывная на
ф-ция,
-
допустимая вариация, тогда
),
получим уравнение Эйлера 1), а также
возьмем первое слагаемое по частям,
получим
.
Т.к.
и
произвольные, то отсюда следует
справедливость условий трансверсальности
2). Что и требовалось док-ть.■
Т.о. схема решения задачи Больца (1):
1. Составить диф. ур-е Эйлера, найти его решение.
2. Выписать усл. трансверсальности и с помощью их найти константы в общем решении ур-я Эйлера.
3. Показать, что решением задачи (1) является одна из экстремалей или что решений нет.