45. Основная задача ви. Основные понятия.

Вариационное исчисление(ВИ)- раздел мат-ки, в котором исследуются экстремальные задачи в бесконечномерных пространствах, т.е. решаются задачи определения наибольших и наименьших значений функционалов, а также определения кривых, на кот. достигается экстремум функционала.

Основная задача ВИ есть обобщение задачи о брахистохроне.

Опр.1. Гладкую кривую , удовлетворяющую условиям: y(a)=c, y(b)=d (1) , наз. допустимой кривой. Рис 1

Рис.1.

Рассм. ф-цию F(x,y,z) дважды непрерывно диф-ю по совокупности своих переменных. Рассм. функционал:

(2)

Осн. задача ВИ состоит в минимизации функционала (2) вдоль допустимых кривых, т.е. (2) c (1) c указанием класса гладкости ф-ции y(x) сост. мат. модель осн. задачи ВИ.

Для осн. задачи ВИ различают слабый локальный минимум, сильный лок. минимум, глобальный минимум (аналог. для максимума).

Слабый лок. минимум доставляют сильные минимали, сильный лок. мин.- сильные минимали, глобальный- глобальные (или абсолютные) минимали.

Опр.2. Допустимую кривую , , наз. сильной минималью, если , что для любых , удовлетворяющих нер-ву выполн. соотношение:

Опр.3. Допустимую кривую , наз. слабой минималью, если _{, что} , для которых выполн. условия и выполн. соотношение

_Опр.4. Допустимую кривую , наз. глобальной (абсолютной) минималью если выполн. условие: _.

_{Таким образом, сильная минималь лучше всех других допустимых кривых по значению. Слабая минималь лучше всех допустимых кривых по значению и по значению производных. Необх. условия оптимал. для слабой минимали будут необх. условиями для абсолютной и сильной минимали.}

Следствие. Слабая минималь явл. сильной минималью, сильная минималь явл. глобальной; обратное верно не всегда.

47. Общее необх. Условие оптимальности для зви.

Т. Для любой слабой минимали и любой допустимой вариации выполняются условия:

1) стационарности ;

2) неотрицательности .

Д-во: (от противного) 1)Пусть условие 1) не выполняется, т.е. . Пусть противоположных знаков, т.е. . Тогда имеем

т.к. С другой стороны для слабой минимали выполняется

Получили противоречие, следовательно, 1) выполняется.

2) Докажем 2) от противного. Допустим , тогда имеем

так как и

Получили противоречие, сл-но, 2) выполняется.

49. Усиленное усл. Лежандра. Ур-е Якоби. Усиленное усл. Якоби. Дост. Усл. Сильного минимума в осн. Зви.

Рассм. осн. ЗВИ. Пусть - экстремаль этой задачи (т.е. решение ур-я Эйлера).

Опр. Будем говорить, что на экстремали выполнено усл. Лежандра, если и усиленное усл. Лежандра, если (для минимали). Для максимали противоположные знаки ( ).

Рассм. в качестве функционала первую вариацию функционала из осн. ЗВИ:

( ). Выпишем для этого функционала ур-ние Эйлера , т.е.

.

Введем обозн.

Тогда

Возьмем интеграл от первого слагаемого, в результате получим

или

Отсюда диф. ур-ние Эйлера для функционала имеет вид (*)

Ур-е (*) наз. ур-ем Якоби относительно вариации . Выражения А(х),В(х),С(х) не зависят от , поэтому полученное ур-е линейное от-но .

Пусть - экстремаль.

Опр. Точка наз. сопряженной точке а, если среди нетривиальных решений ур-я Якоби сущ. такое решение, что .

Равенство h(a)=0 задает как бы граничное условие Якоби.

Опр. Будем говорить, что на экстремали выполняется усл. Якоби, если на интервале нет точек сопряжённых точке а.

Опр. Будем говорить, что на экстремали выполняется усиленное усл. Якоби, если на полуинтервале нет точек сопряжённых точке а.

Опр. Если ф-ция выпукла по х и у в области задания, то она наз. квазирегулярной. Если строго выпукла по х и у, то наз. регулярной.

Т. (дост. усл. сильного минимума). Пусть ф-ция и квазирегулярна в области задания, тогда если - допустимая экстремаль, на которой выполняются усиленное усл. Лежандра и усиленное усл. Якоби, то доставляет сильный локальный минимум в основной ЗВИ.