Лабораторна робота №6

Тема: Рішення задач обробки експериментальних даних. Отримання навичок обробки результатів експерименту.

Мета: Вивчення можливостей пакету MS Excel при рішенні задач обробки експериментальних даних. Отримання навичок обробки результатів експерименту.

Однієї з розповсюджених задач у науці, техніку, економіці є апроксимація експериментальних даних, алгебраїчних даних аналітичними виразами. Можливість підібрати параметри рівняння таким чином, щоб його рішення збіглося з даними експерименту, найчастіше є доказом (або спростуванням) теорії.

Розглянемо наступну математичну задачу. Відомі значення деякої функції f утворюють таблицю:

x	x1	x2	. . .	xn
f(x)	y1	y2	. . .	yn

Необхідно побудувати аналітичну залежність y = f(x), що найбільше близько описує результати експерименту. Побудуємо функцію y = f(x, a₀, a₁, ..., a_k) таким чином, щоб сума квадратів відхилень вимірюваних значень y_i від розрахункових f(x_i ,a₀, a₁, ..., a_k) була найменшою (див. рис. 1).

Рис. 1

Математично ця задача рівнозначна наступній: знайти значення параметрів a₀, a₁, a₂, ...,a_k, при яких функція приймала б мінімальне значення.

( 1)

Ця задача зводиться до вирішення системи рівнянь:

( 2)

Якщо параметри a_i входять у залежність y = f(x,a_o, a₁, …, a_k) лінійно, то ми одержимо систему лінійних рівнянь:

( 3)

Вирішивши систему ( 3), знайдемо параметри a_o, a₁, ..., a_k й одержимо залежність y = f(x, a_o, a₁, ..., a_k).

Лінійна функція (лінія регресії)

Необхідно визначити параметри функції y = ax+b. Складемо функцію S:

( 4)

Продиференціюємо вираз ( 4) по a й b, сформуємо систему лінійних рівнянь, вирішивши яку ми одержимо наступні значення параметрів:

( 5)

Підібрана пряма називається лінією регресії y на x, а a і b називаються коефіцієнтами регресії.

Чим менше величина

тим більше обґрунтоване припущення, що таблична залежність описується лінійною функцією. Існує показник, що характеризує тісноту лінійного зв'язку між x і y. Це коефіцієнт кореляції. Він розраховується за формулою:

Коефіцієнт кореляції r і коефіцієнт регресії a зв'язані співвідношенням:

де Dy, Dx - середньоквадратичне відхилення значень x й y.

Значення коефіцієнта кореляції задовольняє співвідношенню -1 ≤ r ≤ 1. Чим менше відрізняється абсолютна величина r від одиниці, тим ближче до лінії регресії розташовуються експериментальні точки. Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то змінні x, y називаються некорельованими. Якщо r = 0, то це тільки означає, що між x, y не існує лінійного зв'язку, але між ними може існувати залежність, відмінна від лінійної.

Для того щоб перевірити, чи значимо відрізняється від нуля коефіцієнт кореляції, можна використати критерій Стьюдента. Обчислене значення критерію визначається за формулою:

Значення t порівнюється із значенням, взятим з таблиці розподілу Стьюдента відповідно до рівня значимості a і числом ступенів волі n-2. Якщо t більше табличного, то коефіцієнт кореляції значно відмінний від нуля.