2. Оценка распределения поставок по критерию стоимости.

4.4.1. Первый критерий оптимальности распределения поставок.

Пусть известно некоторое исходное допустимое базисное решение ТЗ, построенное методом МНС или СЗУ. Попытаемся «улучшить» это решение, если возможно, перераспределяя поставки, с использованием операции сдвига по циклу на число .

Выберем любую свободную клетку таблицы перевозок, например (i₀,j₀), построим для этой свободной клетки цикл перерасчёта и произведём по выбранному циклу операцию сдвига по циклу на число .

В результате этой операции исходное решение системы ограничений ТЗ переходит в другое решение этой системы.

Рассмотрим простейший пример пересчёта свободной клетки (рис. 17).

После сдвига по циклу на число  получаем следующее распределение поставок в клетках данного цикла (рис. 18).

Чтобы после сдвига по циклу полученное решение было допустимым, число  нужно выбрать наименьшим из чисел, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Пусть наименьшим будет x_{i j 0.}

=min{ x_{i 0 1}, x_{k j 0}}= x_{k j 0}.

После сдвига по циклу на число  количество базисных клеток этого цикла должно быть также равно трём. Действительно, свободная клетка с поставкой x_{i0 j0}=0 станет базисной с поставкой x_{i0 j0}=ε, а в свою очередь, клетка с номером x_{k j0} станет свободной с поставкой x_{k j0}=0. Поставки в остальных клетках в соответствии с определением операции сдвига по циклу на число ε либо увеличатся на ε, либо уменьшатся на ε в зависимости от знака вершины означенного цикла.

Пусть - исходное допустимое базисное решение транспортной задачи, а - допустимое базисное решение, полученное после сдвига по циклу пересчёта свободной клетки (i₀,j₀) на число ε. При этом для всех клеток (i,j), не входящих в цикл пересчёта свободной клетки (i₀,j₀).

Сравним значения функции цели на этих решениях:

причём суммирование в первом слагаемом ведётся по тем номерам, которые не входят в цикл пересчёта свободной клетки (i₀,j₀).

Очевидно,

Определение.Число называется алгебраической суммой стоимостей по циклу пересчёта свободной клетки (i₀,j₀) или оценкой свободной клетки (i₀,j₀).

Итак,

,

где .

Если , то . В этом случае значение функции цели при переходе к новому решению может уменьшиться.

Если , то . В этом случае значение функции цели при переходе к новому решению может увеличиваться или не изменится.

Если , то . В этом случае значение функции цели при переходе к новому решению может не изменится.

Отсюда получаем первый критерий оптимальности решения ТЗ: если для всех свободных клеток таблицы перевозок алгебраическая сумма стоимостей по циклу пересчета неотрицательна, то есть , то данное решение транспортной задачи оптимально по критерию стоимости.

2.4.2. Распределительный метод решения тз

1. Проверяем, является ли ТЗ задачей с правильным балансом.

2. Находим исходное допустимое базисное решение ТЗ методом СЗУ или МНС.

3. Рассматриваем все свободные клетки таблицы перевозок,составляем для них циклы пересчета и находим оценки свободных клеток . Выбираем ту клетку, которая имеет наибольшую по моду- лю отрицательную оценку .

4. Производим сдвиг по циклу пересчета этой свободной клетки. Получаем новую таблицу перевозок.

5. Операции 3, 4 повторяем до тех пор, пока для всех свободных клеток не будет выполняться .

Пример. Построить оптимальное решение ТЗ. исходное допустимое решение которой, построенное методом СЗУ, задано в таблице 5.

Решение. Проверяем выполнение критерия оптимальности, начиная с первой строки:

Единственная свободная клетка с номером (2,1) имеет отрицательную оценку. Проводим сдвиг по циклу на число , где  =min(40,60) = 40. После сдвига по циклу базисная клетка (1, 1) станет свободной (х₁₁ = О), свободная клетка (2,1) станет базисной со значением х₂₁ = 40. В соответствии с определением операции сдвига по циклу на число  = 40: х₁₂ = 60. х₂₂ = 20 (табл. 7).

Таблица 7

Пункт отправления	Пункт назначения	B1	B2	B3	B4	запасы
A1		5 40	2 20	5	6	60
A2		3	1 60	3 20	7	80
A3		4	5	4 30	6 40	70
потребности		40	80	50	40	210

В результате получаем новую таблицу перевозок (табл. 8)

Таблица8

Пункт отправления	Пункт назначения	B1	B2	B3	B4	запасы
A1		5	2 60	5	6	60
A2		3 40	1 20	3 20	7	80
A3		4	5	4 30	6 40	70
потребности		40	80	50	40	210

Проверяем справедливость критерия оптимальности для данного распределения поставок:

Итак, для всех свободных клеток имеем. Следовательно, распределение поставок оптимально.

Ответ:

.

f_min=2*60 + 3*40 + 1*20 + 3*20 + 4*30 + 6*40 = 680.