Блок-схема симплекс-метода.

1. Постановка задачи в канонической форме. Построение исходного допустимого базисного решения.

2. Проверка критерия оптимальности. Если все свободные пере­менные входят в выражение целевой функции с положительными коэф­фициентами, то построенное решение оптимально, переходим к пункту 5; если критерий оптимальности не выполнен, то переходим к пункту 4.

3. Построение нового допустимого базисного решения.

4. Конец.

Доказано, что за конечное число шагов можно получить оптимальное решение.

Частный случай 1. Если на каком-то этапе решения ЗЛП в выра­жении целевой функции имеется свободная переменная с отрицатель­ным коэффициентом, а во все уравнения системы ограничений она ли­бо не входит, либо входит с положительным коэффициентом, то целе­вая функция не ограничена при данной системе ограничений. Опти­мального решения нет.

Частный случай 2. Если при переходе к оптимальному решению на последнем этапе симплекс-метода в выражении целевой функции исчезает хотя бы одна из свободных переменных, то полученное оп­тимальное решение не единственное. Чтобы получить другое решение, нужно сделать еще один шаг симплекс-метода и перевести в базисные исчезнувшую переменную.

Задание для самостоятельной работы. Получить решение симп­лекс-методом задач предыдущего параграфа, иллюстрирующих частные случаи.

3. Двойственность в линейном программировании.

3.1. Постановка двойственных задач.

Рассмотрим две задачи линейного программирования.

1. II.

Эти задачи образуют пару симметричные двойственных задач. Особенности и общие правила составления двойственных задач:

1. В исходной задаче (I) во всех ограничениях члены, содер­жащие переменные, должны стоять в левой части неравенств, а сво­бодные члены - в правой.

2. Все неравенства в ограничениях исходной задачи должны иметь одинаковый знак, причем " " в задачах максимизации и " " в задачах минимизации.

3. Свободные члены ограничений исходной задачи являются коэффициентами при неизвестных в функции цели двойственной задачи.

4. Если исходная задача - задача максимизации, то двойствен­ная к ней - минимизации.

5. Если в исходной задаче неравенство ограничений " ", то в двойственной задаче - " ".

6. Число переменных исходной задачи равно числу ограничений двойственной задачи.

7. Матрицы из коэффициентов при неизвестных в ограничениях прямой и двойственной задач транспонированы одна относительно другой.

Пример. Составить задачу, двойственную данной:

Решение. так как исходная задача - задача максимизации, то приведем все неравенства системы ограничений к виду " ", умножив неравенства вида " " на (-1) и поменяв знак неравенства на проти­воположный:

Составим таблицу из расширенной матрицы системы ограничений, добавив к ней последней строкой коэффициенты при неизвестных в целевой функции:

-2	1	-1
-1	4	4
1	-1	3
-1	-1	-5
-1	2	f

Составим таблицу, поменяв, в предыдущей строки на столбцы, а f – на φ

-2	-1	1	-1	-1
1	4	-1	-1	2
-1	4	3	-5	φ

Формулируем двойственную задачу: