Общая формулировка злп. Основные определения.

Определение. Общей ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального или минимального значения функции

f= c_оx_о → max(min) (9)

при условиях

	(10)
	(11)

где a_{i j} , b_i , c_j - заданные постоянные величины и k≤m.

Определение. Стандартной или симметричной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

a= с_оx_о → min (max) (13)

при условиях

	(14)
	(15)

Определение. Основной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении минимального значения функции

f = c₁x₁+c₂x₂+…..c_nx_n → min (16)

и условиях

	(17)
	(18)

Определение. Функция (16), экстремум которой ищется, называется целевой функцией или функцией цели ЗЛП. Системы неравенств (14) , или уравнений (17) называются системами ограничения ЗЛП.

Определение. Совокупность чисел х = (х₁,х₂,….х_n), удовлетворяющей системе ограничений (14), (15), называется допустимым решением или планом ЗЛП.

Определение. Совокупность всевозможных допустимых решений ЗЛП называется областью допустимых решений ЗЛП.

Определение. Допустимое решение задачи, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.

Указанные выше 3 формы записи ЗЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решений одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из 3 задач.

Чтобы перейти от одной формы записи ЗЛП к другой, нужно в общем случае уметь, во-первых, сводить задачу максимизации функции к задаче минимизации, во-вторых, переходить от ограничений – неравенств к ограничениям – равенствам и наоборот, в-третьих, заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда требуется найти максимум функции

f = c₁x₁+с₂x₂+…+с_nx_n →max, (19)

можно перейти к нахождению минимума функции

f = -f = - c₁x₁-c₂x₂-…..-c_nx_n →min (20)

при этом

max(f)= - min (-f). (21)

Ограничения неравенства, имеющий вид «≤», можно преобразовать в ограничения-равенства добавлением к левой части дополнительной неотрицательной переменной. А ограничения-неравенства вида «≥» - в ограничение-равенство вычитанием из левой части дополнительной неотрицательной переменной. Эти дополнительные переменные называют балансовыми, и в конкретных задачах они имеют вполне определённый экономический смысл. Таким образом, ограничение-неравенство

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…..­+a_1nx_n ≤b₁

преобразуется в ограничение-равенство

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…..­+a_1nx_n+x_n+1 =b₁, x_n+1≥0,

а ограничение-неравенство

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…..­+a_1nx_n+x_n+1 ≥b₁-

в ограничение-равенство

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…..­+a_1nx_n-x_n+1 =b₁, x_n+1≥0.

Пример. Преобразовать постановку данной задачи в каноническую:

f=-2x₁+x₂+5x₃→max;

Решить пример самостоятельно.

Ответ:

f=2x₁-x₂-5x₃→min;

Для того, чтобы записать ограничения-равенства в виде ограничений-неравенств, необходимы сведения из линейной алгебры. Рассмотрим конкретный пример. Преобразовать постановку данной задачи в симметричную.

f=9x₁+3x₂-5x₃+5x₄→max;

1. Убедимся в том, что система ограничений совместна. Воспользуемся теоремой Кронкера-Капелли.

Так как ранг матрицы r( ) равен рангу расширенной матрицы r( ) и равен 2, то система совместна.

2. Найдём какое-либо базисное решение. В качестве базисных переменных возьмём две любые переменные, минор второго порядка при которых отличен от нуля и имеет наиболее простой вид – содержит больше нулей и единиц. Пусть x₂ и x₄ – базисные переменные. Перепишем систему в виде:

Решаем её, например, по правилу Крамера:

имеем решение:

3. Выразим целевую функцию через свободные переменные:

f=9x₁+3x₂-5x₃+5x₄=9x₁+3*(2-x₁-2x₃)-5x₃+5*(4-x₁-x₃)= 9x₁+6-3x₁+6x₃-5x₃+20-5x₁-5x₃=26+x₁-4x₃→max;

4. Так как все переменные неотрицательные, и, следовательно, неотрицательны и базисные переменные, то модем записать:

или

5. Таким образом, получили симметричную постановку исходной ЗЛП:

f=26+x₁-4x₃→max;

Если переменная x_k не подчинена условию неотрицательности, то её следует заменить двумя неотрицательными переменными:

x_k = u_k - v_k;

u_k ≥0; v_k≥0.

Замечание. В задаче 2 п. 1.2. в качестве плана была выбрана матрица

размера 2*3. Вводя обозначения ≡x₁, ≡x₂,..., ≡x₆, записываем план в виде шестимерного вектора: