Примеры:
5C3F(16) = 101 1100 0011 1111(2)
9А7,D3(16) = 1001 1010 0111, 1101 0011(2)
т.е. необходимо заменить соответствующими группами из четырех двоичных чисел каждую шестнадцатиричную цифру и все незначащие (стоящие перед самой первой единицей в числе) нули опустить. Порядок записи для целого числа - справа налево, а для дробного ‑ наоборот. При переводе из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную необходимо двоичное число разбить на тетрады (группы по четыре двоичные цифры, см. таблицу 1), причем для целой части выделение следует выполнить справа налево от запятой, а для дробной - слева направо, и каждую тетраду записать соответствующей ей шестнадцатиричной цифрой. Если самая левая группа целой части неполная, то она дополняется нулями. Аналогично поступают и с самой правой группой дробной части.
Пример:
1 0101 1101 0111 , 1011 011(2) перевести в q16
0001 0101 1101 0111 , 1011 0110(2) = 15D7,B6(16)
Число в восьмиричной системе счисления легко представить, зная его эквивалент либо в двоичной, либо в шестнадцатиричной системе счисления.
Для этого число, представленное в двоичной системе счисления, необходимо разбить на триады (группы, содержащие три бита, см. таблицу 1), а если число задано в шестнадцатиричной системе счисления, его представляют в двоичной системе счисления тетрадами и выполняют аналогичную операцию.
Примеры:
1447(10) = 5A7(16)
5А7(16) = 0101 1010 0111(2) = 010 110 100 111(2)
5А7(16) = 2 6 4 7 (8)
8,8(10) =1000,1100 1100 1100(2) = 001 000,110 011 001 100(2)
8,8(10) = = 1 0 , 6 3 1 4(8)
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ. Числа из любой системы счисления в десятичную переводятся по формуле развернутой записи числа, т.е. в виде суммы парных произведений числа на основание системы счисления и соответствующие коэффициенты.
Примеры:
А(2) =11101,11(2) = 1*24+1*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2 =
= 16+8+4+1+1/2+1/4 = 29,75(10)
А(16) =А2С,8(16) =10*162+2*16+12+8/16 =2560+32+12+0,5 = 2544,5(10).
Операции выполняются по правилам десятичной арифметики.
13. Машинное представление чисел в естественной форме в эвм
В зависимости от способа представления в них чисел машины делятся на машины с фиксированной запятой и машины с плавающей запятой.
В машинах с фиксированной запятой применяется естественная форма записи чисел: число представляется в виде последовательности цифр, разделенной на целую и дробную часть.
Ячейка памяти такой машины состоит из знакового разряда и цифровых разрядов. Постоянное количество числовых разрядов отведено для хранения целой части числа, остальные цифровые разряды предназначены для изображения ее целой части.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
знак |
Целая часть |
Дробная часть |
||||||||||||||
Название "машина с плавающей запятой (точкой)" происходит от того, что при записи чисел в ячейках запятая помещается (с помощью записи в указателе положения запятой) после любого цифрового разряда ячейки.
При этом используются числа в так называемой нормализованной форме. Числа с плавающей запятой представляются в ЭВМ по формуле:
А = М*q p,
где М ‑ мантисса;
q ‑ основание системы счисление;
р ‑ порядок числа.
Мантисса числа ограничена диапазоном
q –1 < |M| < 1.
Мантисса нормализуется таким образом, чтобы первой цифрой после запятой была значащая цифра, а не нуль. Если после вычисления мантисса имеет в старших разрядах нули, то она при нормализации сдвигается влево на количество нулевых разрядов и при этом порядок уменьшается на столько же единиц, сколько сдвигов влево было в мантиссе. Например, отобразим число А = -13,75 (10) в форме с плавающей запятой.
-13,75 (10) = -1101,11 (2) = -D,C (16) = -DC*16 1
При этом: М = -0,DC00 (16) = -0,1101 1100 0000 0000 (2)
В современных ЭВМ используется не порядок, а характеристика (Х), которая более порядка на 64 единицы. Таким образом, характеристика числа будет:
Х = р+64 (10) =р+40 (16) = р+01000001 (2)
[A] п.к. = 1.11011100*101000001
знак
мантиссы
31 0
Х = р+40 (16) Мантисса от 3 до 7 байт
Характеристика
Рис.1. Формат чисел с плавающей запятой
Диапазон порядка находится от –64 к +63: -64 (10) < p < 63 (10), а диапазон характеристики — 0 < X < 127 (10)
Рассмотрим пример записи числа [A] п.к. = 1.11011100*101000001 в регистр ЭВМ с плавающей запятой (рис.2.).
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
0 |
0 |
Х М
Рис. 2. Пример записи числа с плавающей запятой
где 0,1 m <1,
m - мантисса,
p - показатель степени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
знак |
Цифровые разряды мантиссы |
Знак порядка |
Порядок |
|||||||||||||
КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ. Для записи и хранения числовой информации в памяти ЭВМ используются не сами числа, а их коды.
Кодом числа называется условное изображение числа в машине для выполнения арифметических операций. Двоичные числа могут быть представлены в прямом, обратном и дополнительных кодах.
Для кодирования знака числа используется один двоичный разряд, в котором знак "+" изображается цифрой 0; знак "-" изображается цифрой 1. Поскольку положительные числа в различных кодах одинаковы, то специальное кодирование относится только к отрицательным числам.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют различное изображение, но знак числа "-" кодируется как "1" для всех видов кодов.
Отрицательное число в прямом коде сохраняет свое изображение, в обратном коде разряды нулей заменяются единицами, а единицы - нулями. Дополнительный код отрицательного числа соответствует обратному коду числа с прибавлением единицы к младшему разряду.