Что такое система счисления?
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Для начала проведём границу между числом и цифрой:
Число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества.
Цифры — это знаки, используемые для записи чисел.
Цифры бывают разные: самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век).
Итак запомним:
число — это абстрактная мера количества;
цифра — это знак для записи числа.
Поскольку чисел гораздо больше чем цифр, то для записи числа обычно используется набор (комбинация) цифр.
Только для небольшого количества чисел — для самых малых по величине — бывает достаточно одной цифры.
Существует много способов записи чисел с помощью цифр. Каждый такой способ называется системой счисления.
Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может и не зависеть.
Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких систем.
Какие системы счисления вам известны?
Системы счисления разделить на три класса (группы):
позиционные;
непозиционные;
смешанные.
Позиционная система счисления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.
7. Какие системы счисления используется в ЭВМ?
В современных ЭВМ используются десятичная, двоичная, восьмиричная и шестнадцатиричная системы счисления.
8. Какой вид имеет развернутое представление числа в позиционной системе счисления?
Развернутое представление числа в позиционной системе счисления имеет вид:
где А(q) ‑ произвольное число в системе с основанием q;
‑ цифры
системы счисления;
n + m ‑ количество целых и дробных разрядов вместе.
9. Формула веса каждого разряда в позиционной системе счисления.
Каждый разряд в позиционной системе имеет вес, который показывает во сколько раз единица данного разряда больше или меньше единицы нулевого разряда:
В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Предположим, длина разрядной сетки равняется числу n. Тогда максимальное число определяется по формуле:
а минимальное число определяется по формуле:
10. Метод перевода целых чисел из одной системы счисления в другую
ДЛЯ ПЕРЕВОДА ЦЕЛОГО ЧИСЛА N, представленного в системе счисления с основанием R, в систему с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам системы с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в системе с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).
Таблица 1
-
q=10
q=2
q=8
q=16
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
Примеры:
Перевести целые десятичные числа А(10) = 22 в двоичную систему счисления и В(10) = 8625 в шестнадцатиричную систему счисления.
-
22
2
22
11
2
0
10
5
2
1
4
2
2
1
2
1
0
направление записи
22(10) =10110(2)
-
8625
16
80
539
16
62
48
33
16
4859
32
2
145
48
1
144
11
1
направление записи
8625(10) =21В1(16)