30.Наближенні рішення рівнянь Максвела для круглих слоїстих світловодів.

Л учевой метод расчета волоконных свето­водов не дает полной картины распространения волн в ступенчатом ОВ. Поэтому необходимо обращаться и к волновому методу решения уравнений Максвелла или волнового уравнения. Волновое уравнение в цилиндрической системе координат г, φ, z относительно компо­нентов электрического поля или магнитного поля Hz, изменяющихся во времени t и вдоль оси z волокна, в виде

переходит в уравнение Гельмгольца:

где χ - поперечное волновое число, или собственное значение; β- фазовая постоянная.

Д ля описания поведения электромагнитного поля в сердцевине (0<r<а) и в оболочке (a <r <b) необходимо использовать различные функции. Для простоты решения уравне­ния (2.51) предположим, что оболочка ОВ с п2 на рис. 2.19 простирается до бесконечности (d=oo). В таком случае п в формуле (2.52) равно или n1 в середине ОВ, или п2 во внешней сре­де. Для нахождения бегущих вдоль оси z волн необходимо для внешней среды положить

ч тобы поле в радиальном направлении в среде и, убывало. Тогда решение уравнения Гельмгольца можно записать:

для сердцевины ОВ с показателем преломления п1в виде:

2.54

а для оболочки с п2, в виде:

(2.55)

решения (2.54) и (2.55) дают возможность изучить условия распростра­нения волн в ступенчатом ОВ. В решениях (2.54) и (2.55) Ат Вт Ст и Dm - постоянные ин­тегрирования; Jn, Nn - функции Бесселя первого и второго рода п-то порядка, соответствен­но; In и Кn — видоизмененные (модифицированные) функции Бесселя первого и второго рода и-го порядка, соответственно.

П ри r—>0 значение Nn—> -со. Но так как поле на оси сердцевины не может приобретать бесконечные значения, то необходимо положить Вт=0. Поле за пределами сердцевины должно убывать в радиальном направлении и при г—>оо должно стремиться к нулю. Однако In при этом стремится к бесконечности, что противоречит условию Зоммерфельда. Следова­тельно, надо положить С„= 0, так как нас интересуют только направляемые моды вдоль оси z. Таким образом, функция Jn(χ1r) описывает распределение поля внутри сердцевины ОВ, а функция Кп(а2r) описывает изменение поля за ее пределами (в среде с п2) и ведет себя при больших значениях а2г как ехр(-а2r). Тогда уравнения (2.54) и (2.55) перепишутся в виде(2.56 2.57):==================================

Постоянные интегрирования Ат и Dm могут быть определены на основании граничных условий. Поперечные составляющие электрических Еr Еφ и маг­нитных Нr, Нφ полей могут быть выражены с помощью известных соотношений между поперечными и продольными Ez, Hz составляющими. Тогда, используя условие равенства тангенцианальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердцевина - оболочка (при r=а):

(2.58)

найдем постоянные интегрирования. Подставим их в уравнения типа (2.56) и (2.57), и после соответствующих преобразований получим следующее характеристическое уравнение:

(2.59)

Это уравнение позволяет определить структуру поля, параметры волн и характеристики ОВ. В общем случае оно имеет ряд решеняй, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны, или модой. Обычно в ступенчатых ОВ, применяемых для линий передачи сигналов, п1 п2. Тогда уравнение (2.59) можно переписать в виде:

( 2.60)

В ступенчатом ОВ отсечка моды (критические условия) наступает при равенстве попе­речного волнового числа в оболочке –a2=0, это возможно при β =k2- При этом условии из (2.60) следует, что

(2.61)

О тсюда видно, что низшая основная мода (п=0) имеет отсечку, определяемую из урав­нения:

П ервый корень этого характеристического уравнения χ1а = 0, и он соответствует моде НЕ11. В соответствии с решением (2.54) и (2.55) эта волна существует в виде двух взаимных ортогональных поляризаций НЕ11rг и НЕ11в, соответствующих cos φ и sin φ.( 2.21). Вторая в порядке возбуж­дения мода для n=0 отсекается, когда функция J1(χ1r) второй раз становится равной нулю, т.е. когда χ1a=3,83. Эта мода обозначается НЕ12. Aналогично для n = 0 следуют моды НЕ13, НЕ14….

В приведенных обозначениях мод первый индекс учитывает порядок функции, второй -номер корня (порядок решения), удовлетворяющего граничным условиям для данного по­рядка функции Бесселя.

Следующая совокупность мод соответствует n= 1 или характеристическому уравнению:J0(χ1r)=0

Первым корнем этого уравнения является χ1а = 2,405. Ему соответствуют две волны Н01и Е01.. Второму корню уравнения соответствует следующая пара мод Н02 и Е02 и т.д.Таким образом, функции Бесселя первого рода n-го порядка дают бесконечное число корней. Причем корни функции :J0(χ1a) определяют структуру поля симметричных волн (Е0m H0m), a Jn(χ1a) при n 0 структуру несимметричных гибридных волн (ЕНnm, НЕnm). В индексе моды n - число изменений поля по диаметру, a m- число изменений поля по пери­метру сердцевины ОВ.

Все составляющие эл/магн поля в волноводе обычно опр-ют через сост-щие и :

-относ. диэлектрич. проницаемость среды; n – пок - ль преломления

, -круговая частота; -продольная постоянная распространения

При малом относительном изменении диэл. проницаемости на длине волны можно считать . При этом система распадается на независимых однородных диф. уравнения второго порядка:

, где -ф-ия пропорциональная или .

Решая уравнение можно получить в явном виде соотношение для определения называемое дисперсионным уравнением. В общем случае уравнение имеет q корней каждому из которых соотв. Определенное решение уравнений, называемое собственным, а в электродинамике – собственным типом волны или модой. Решая дисперсионное ур-ние для каждой частоты, можно определить зависимость - дисперс. хар-ку моды.

Дисперсионные хар-ки для нескольких первых мод в волоконном световоде однородном двухслойном со ступенчатым профилем показателя преломления (постоянное по радиусу значение) приведены на рис. - нормированная частота.

- радиус сердечника.

- волновое число в свободном пространстве.

Область разрешенных значений постоянных распространения зависит от значения показателя преломления сердечника и оболочки . Равенство -условия частоты отсечки. На ч-те отсечки поле выходит из серд-ка световода. Ч-та отсечки осн. моды HE₁₁ равна нулю. Мода HE₁₁ - двукратно вырожденная по поляризации, т.к. в круглом световоде все ориентации вектора Е эквивалентны, вследствии чего могут сущ-ть моды со взаимно перпендикул. поляризацией и одинаковым волновым числом. Эллиптичность сердечника приводит к снятию данного вырождения. Если на заданной раб. ч-те параметры световода выбрать так, чтобы следующие высшие моды ТE₀₁, ТМ₀₁, HE₂₁ с более высокими ч-ми отсечки не могли распр-ся, то получим одномодовый световод.В этом случае должно вып-ться условие одномодовости: . Из анализа выр-я видно, что для увеличения размеров сердечника круглого световода в одномодовом режиме желательно брать малое значение разности пок-лей преломления. Поэтому на практике беруться световоды с малой разностью пок-лей преломления сердечника и оболочки