Розділ 3. Завдання контрольної роботи Контрольна робота №1 «випадкові події та величини»

Задача 1. Розв’язати задачу використовуючи основні поняття, формули та теореми комбінаторики.

1. Скільки чотиризначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна з цифр не повторюється?

2. Скільки парних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі цифри числа були різними?

3. Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запланувати три лекції з різних предметів?

4. Для прийому вступних іспитів кафедра математики повинна виділити 6 викладачів. Скількома способами можна скласти предметну комісію з математики, якщо на кафедрі працює 8 викладачів та один з членів комісії має бути головою предметної комісії?

5. Скільки є трицифрових чисел, у запису яких всі цифри різні і непарні?

6. Скільки п’ятизначних парних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 за умови, що в числі цифри не повторюються?

7. Шифр складається з п’яти елементів, де перші три – різні цифри, а дві останні – різні букви латинського алфавіту. Визначити кількість можливих варіантів кодів.

8. Експерт з управління цінними паперами розглядає 20 об’єктів для інвестування. Скількома способами можна вибрати з них 10 об’єктів?

9. Профспілковий комітет складається з восьми чоловік. Скількома способами вибрати голову, заступника і секретаря?

10. Визначте кількість можливих семицифрових телефонних номерів, якщо перші три цифри не дорівнюють нулю і жодна цифра у номері не повторюється.

11. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна з цифр не повторюється?

12. Скільки непарних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі цифри числа були різними?

13. Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запланувати чотири лекції з різних предметів?

14. Для прийому вступних іспитів кафедра математики повинна виділити 6 викладачів. Скількома способами можна скласти предметну комісію з математики, якщо на кафедрі працює 9 викладачів та один з членів комісії має бути головою предметної комісії?

15. Скільки є чотирицифрових чисел, у запису яких всі цифри різні і непарні?

16. Скільки п’ятизначних непарних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 5, 8 за умови, що в числі цифри не повторюються?

17. Шифр складається з шести елементів, де перші три – різні цифри, а три останні – різні букви латинського алфавіту. Визначити кількість можливих варіантів кодів.

18. Експерт з управління цінними паперами розглядає 20 об’єктів для інвестування. Скількома способами можна вибрати з них 9 об’єктів?

19. Профспілковий комітет складається з 10 чоловік. Скількома способами вибрати голову, заступника і секретаря?

20. Визначте кількість можливих шестицифрових телефонних номерів, якщо перші три цифри не дорівнюють нулю і жодна цифра у номері не повторюється.

21. Скільки п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна з цифр не повторюється?

22. Скільки парних чотиризначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі цифри числа були різними?

23. Студенти одного з курсів вивчають 9 навчальних дисциплін. Скількома способами можна розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запланувати три лекції з різних предметів?

24. Для прийому вступних іспитів кафедра математики повинна виділити 5 викладачів. Скількома способами можна скласти предметну комісію з математики, якщо на кафедрі працює 8 викладачів та один з членів комісії має бути головою предметної комісії?

25. Скільки є трицифрових чисел, у запису яких всі цифри різні і парні?

26. Скільки чотиризначних парних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 за умови, що в числі цифри не повторюються?

27. Шифр складається з шести елементів, де перші чотири – різні цифри, а дві останні – різні букви латинського алфавіту. Визначити кількість можливих варіантів кодів.

28. Експерт з управління цінними паперами розглядає 30 об’єктів для інвестування. Скількома способами можна вибрати з них 10 об’єктів?

29. Профспілковий комітет складається з 15 чоловік. Скількома способами вибрати голову, заступника і секретаря?

30. Визначте кількість можливих семицифрових телефонних номерів, якщо перші дві цифри не дорівнюють нулю і жодна цифра у номері не повторюється.

Задача 2. Розв’язати задачу використовуючи основні теореми додавання та множення ймовірностей, а також наслідки з них.

1. В ящику 15 білих і 10 чорних кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) обидві кульки білі;

б) обидві кульки чорні;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька біла.

2. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,8, для другого –0,9, а для третього – 0,75. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) всі стрільці влучать;

б) всі стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) два стрільці з трьох влучать в ціль.

3. З партії з 20 стандартних та 5 бракованих деталей вилучили навмання 3 деталі. Чому дорівнює ймовірність того, що серед них:

а) всі деталі стандартні;

б) всі деталі браковані;

в) дві деталі стандартні;

г) хоча б дві деталі стандартні;

д) принаймні одна деталь не є бракованою?

4. В урні є 5 виграшних та 20 невиграшних лотерейних білетів. Яка ймовірність того, що з двох вийнятих білетів:

а) обидва виграшні;

б) один виграшний, а іншій – невиграшний;

в) жодного виграшного білету;

г) хоча б один білет – виграшний;

д) хоча б один білет – невиграшний?

5. Ймовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,8, другим –0,9. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) обидва стрільці влучать;

б) обидва стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) хоча б один із стрільців не влучить в ціль?

6. В ящику 15 білих і 10 чорних кульок. Навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) всі кульки однакового кольору;

б) дві кульки чорні;

в) дві кульки однакового кольору;

г) дві кульки білі;

д) хоча б одна кулька біла.

7. Із партії з 15 телевізорів, серед яких 4 несправні, для перевірки беруть 3 телевізори. Знайти ймовірність того, що до числа відібраних потраплять:

а) тільки справні телевізори;

б) тільки несправні телевізори;

в) два справних;

г) хоча б два справних;

д) принаймні один справний телевізор?

8. В ящику 10 червоних і 6 синіх кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що:

а) обидві кульки червоні;

б) обидві кульки сині;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька червона;

9. З партії електроламп (45 якісних і 5 бракованих) вибирають три. Знайти ймовірність того, що серед відібраних:

а) всі три лампи якісні;

б) всі три лампи браковані;

в) дві лампи якісні;

г) хоча б дві лампи якісні;

д) принаймні одна лампа не є бракованою?

10. В класі 12 хлопчиків та 18 дівчинок. Треба вибрати делегацію з трьох представників цього класу. Яка ймовірність того, що у складі делегації:

а) три хлопчики;

б) три дівчинки;

в) два хлопчики;

г) хоча б два хлопчики;

д) хоча б одна дівчина?

11. В ящику 15 білих і 20 чорних кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) обидві кульки білі;

б) обидві кульки чорні;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька біла.

12. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,7, для другого –0,9, а для третього – 0,75. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) всі стрільці влучать;

б) всі стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) два стрільці влучать в ціль.

13. В партії з 15 стандартних та 5 бракованих деталей вилучили навмання 3 деталі. Чому дорівнює ймовірність того, що серед них:

а) всі деталі стандартні;

б) всі деталі браковані;

в) дві деталі стандартні;

г) хоча б дві деталі стандартні;

д) принаймні одна деталь не є бракованою?

14. В урні є 5 виграшних та 120 невиграшних лотерейних білетів. Яка ймовірність того, що з двох вийнятих білетів:

а) обидва виграшні;

б) один виграшний, а іншій – невиграшний;

в) жодного виграшного білету;

г) хоча б один білет – виграшний;

д) хоча б один білет – невиграшний?

15. Ймовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,7, другим –0,9. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) обидва стрільці влучать;

б) обидва стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) хоча б один із стрільців не влучить в ціль?

16. В ящику 25 білих і 10 чорних кульок. Навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) всі кульки однакового кольору;

б) дві кульки чорні;

в) дві кульки однакового кольору;

г)дві кульки білі;

д) хоча б одна кулька біла.

17. Із партії з 15 телевізорів, серед яких 4 несправні, для перевірки беруть 2 телевізори. Знайти ймовірність того, що до числа відібраних потраплять:

а) тільки справні телевізори;

б) тільки несправні телевізори;

в) один справний телевізор;

г) хоча б один справний телевізор;

д) не більше одного несправного?

18. В ящику 10 червоних і 8 синіх кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що:

а) обидві кульки червоні;

б) обидві кульки сині;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька червона.

19. З партії електроламп (45 якісних і 4бракованих) вибирають три. Знайти ймовірність того, що серед відібраних:

а) всі три лампи якісні;

б) всі три лампи браковані;

в) дві лампи якісні;

г) хоча б дві лампи якісні;

д) принаймні одна лампа не є бракованою?

20. В класі 20 хлопчиків та 18 дівчинок. Треба вибрати делегацію з трьох представників цього класу. Яка ймовірність того, що у складі делегації:

а) три хлопчики;

б) три дівчинки;

в) два хлопчики;

г) хоча б два хлопчики;

д) хоча б одна дівчина?

21. В ящику 20 білих і 10 чорних кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) обидві кульки білі;

б) обидві кульки чорні;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька біла.

22. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,8, для другого –0,85, а для третього – 0,75. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) всі стрільці влучать;

б) всі стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) два стрільці влучать в ціль.

23. В партії з 20 стандартних та 3 бракованих деталей вилучили навмання 3 деталі. Чому дорівнює ймовірність того, що серед них:

а) всі деталі стандартні;

б) всі деталі браковані;

в) дві деталі стандартні;

г) хоча б дві деталі стандартні;

д) принаймні одна деталь не є бракованою?

24. В урні є 8 виграшних та 120 невиграшних лотерейних білетів. Яка ймовірність того, що з двох вийнятих білетів:

а) обидва виграшні;

б) один виграшний, а іншій – невиграшний;

в) жодного виграшного білету;

г) хоча б один білет – виграшний;

д) хоча б один білет – невиграшний?

25. Ймовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,85, другим –0,9. Кожен із стрільців зробив один постріл. Знайти ймовірність того, що:

а) обидва стрільці влучать;

б) обидва стрільці не влучать;

в) в ціль влучить один стрілець;

г) хоча б один із стрільців влучить в ціль;

д) хоча б один із стрільців не влучить в ціль?

26. В ящику 15 білих і 20 чорних кульок. Навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) всі кульки однакового кольору;

б) дві кульки чорні;

в) дві кульки однакового кольору;

г)дві кульки білі;

д) хоча б одна кулька біла.

27. Із партії з 15 телевізорів, серед яких 4 несправні, для перевірки беруть 4 телевізори. Знайти ймовірність того, що до числа відібраних потраплять:

а) тільки справні телевізори;

б) тільки несправні телевізори;

в) два справних;

г) хоча б два справних;

д) не більше одного несправного?

28. В ящику 10 червоних і 16 синіх кульок. Навмання виймають дві кульки. Знайти ймовірність того, що:

а) обидві кульки червоні;

б) обидві кульки сині;

в) обидві кульки однакового кольору;

г) дістали кульки різних кольорів;

д) хоча б одна кулька червона.

29. З партії електроламп (40 якісних і 5 бракованих) вибирають три. Знайти ймовірність того, що серед відібраних:

а) всі три лампи якісні;

б) всі три лампи браковані;

в) дві лампи якісні;

г) хоча б дві лампи якісні;

д) принаймні одна лампа не є бракованою?

30. В класі 15 хлопчиків та 18 дівчинок. Треба вибрати делегацію з трьох представників цього класу. Яка ймовірність того, що у складі делегації:

а) три хлопчики;

б) три дівчинки;

в) два хлопчики;

г) хоча б два хлопчики;

д) хоча б одна дівчина?

Задача 3. Розв’язати задачу використовуючи формулу повної ймовірності та формулу Байєса.

1. Пасажир для придбання квитка може навмання звернутися до однієї з чотирьох кас. Ймовірності наявності квитка в касах відповідно рівні 0,6; 0,3; 0,8; 0,5. Пасажир звернувся до однієї з кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток він придбав у першій касі?

2. До групи спортсменів входить 20 бігунів, 6 велосипедистів та 4 гімнасти. Ймовірність виконання норми розряду для бігуна становить 0,95, для велосипедиста – 0,8, для гімнаста – 0,75. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання спортсмен виконає норму розряду.

3. Робітник одержав три ящики деталей: у першому ящику 50 деталей, з них 20 пофарбованих. У другому – 40, з них 30 пофарбованих. У третьому – 30, з них 20 пофарбованих. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з довільно вибраного ящика, виявиться пофарбованою .

4. В магазин надходить 20% продукції від першого заводу, 40% – від другого заводу і решта – від третього заводу. Причому браковані вироби серед них становлять відповідно 10%, 15% і 20%. Яка ймовірність того, що навмання придбаний виріб виявиться якісним?

5. Дві секретарки заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність того, що помилки в документі зробить перша секретарка, становить 0,05, а друга – 0,1. Перша секретарка заповнила 20 документів, а друга – 30. Навмання взятий з папки документ містить помилки. Визначити ймовірність того, що його заповнювала перша секретарка.

6. В ящик, який містить 7 білих і 4 чорні кульки, з однаковою ймовірністю опущена біла або чорна кулька. Після цього з ящика навмання виймають кульку. Знайти ймовірність того, що вона біла.

7. В магазин надходить 50% продукції від першого заводу, 40% – від другого заводу і решта – від третього заводу. Причому браковані вироби серед них становлять відповідно 10%, 15% і 5%. Навмання придбаний виріб виявився якісним. Яка ймовірність того його виготовив другий завод?

8. Деталі виготовляються в трьох цехах, причому перший виготовляє 30%, другий –25%, третій – 45%. Стандартні деталі для першого цеху становлять 95%, для другого – 90%, для третього – 85% від об’єму продукції кожного цеху. Навмання узяли деталь. Вона виявилася нестандартною. Яка ймовірність того, що вона виготовлена третім цехом.

9. З 20 стрільців 8 влучають у мішень з ймовірністю 0,8; 7 – з ймовірністю 0,6 і 5 – з ймовірністю – 0,5. Навмання вибраний стрілець, зробивши один постріл, в мішень не влучив. Знайти ймовірність того, що він належав до першої групи.

10. Є шість однакових ящиків. В першому міститься 2 білі й 1 чорна кульки. В другому та третьому – по 3 білих і 2 чорних кульки. А в трьох решта – по 1 білій і 2 чорних кульки. Навмання вибирається один ящик і з нього навмання виймається кулька. Знайти ймовірність того, що вона біла.

11. Пасажир для придбання квитка може навмання звернутися до однієї з трьох кас. Ймовірності наявності квитка в касах відповідно рівні 0,3; 0,8; 0,5. Пасажир звернувся до однієї з кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток він придбав у другій касі?

12. До групи спортсменів входить 20 бігунів, 6 велосипедистів та 4 гімнасти. Ймовірність виконання норми розряду для бігуна становить 0,95, для велосипедиста – 0,9, для гімнаста – 0,5. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання спортсмен виконає норму розряду.

13. Робітник одержав три ящики деталей. У першому ящику 50 деталей, з них 20 пофарбованих. У другому – 40, з них 30 пофарбованих. У третьому – 30, з них 20 пофарбованих. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з довільно вибраного ящика, виявиться не пофарбованою.

14. В магазин надходить 20% продукції від першого заводу, 40% – від другого заводу і решта – від третього заводу, причому браковані вироби серед них становлять відповідно 10%, 15% і 20%. Яка ймовірність того, що навмання придбаний виріб виявиться неякісним?

15. Дві секретарки заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність того, що помилки в документі зробить перша секретарка, становить 0,05, а друга – 0,15. Перша секретарка заповнила 20 документів, а друга – 30. Навмання взятий з папки документ містить помилки. Визначити ймовірність того, що його заповнювала друга секретарка.

16. В ящик, який містить 7 білих і 6 чорних кульки, з однаковою ймовірністю опущена біла або чорна кулька. Після цього з ящика навмання виймають кульку. Знайти ймовірність того, що вона чорна.

17. В магазин надходить 50% продукції від першого заводу, 40% – від другого заводу і решта – від третього заводу. Причому браковані вироби серед них становлять відповідно 10%, 15% і 5%. Навмання придбаний виріб виявився якісним. Яка ймовірність того його виготовив третій завод?

18. Деталі виготовляються в трьох цехах, причому перший виготовляє 30%, другий –35%, третій – 35%. Стандартні деталі для першого цеху становлять 85%, для другого – 90%, для третього – 85% від об’єму продукції кожного цеху. Навмання узяли деталь. Вона виявилася нестандартною. Яка ймовірність того, що вона виготовлена другим цехом.

19. З 20 стрільців 8 влучають у мішень з ймовірністю 0,8; 7 – з ймовірністю 0,6 і 5 – з ймовірністю – 0,7. Навмання вибраний стрілець, зробивши один постріл, у мішень не влучив. Знайти ймовірність того, що він належав до третьої групи.

20. Є шість однакових ящиків. В першому міститься 2 білі й 1 чорна кульки, в інших двох – по 3 білих і 2 чорних кульки, а в трьох решта – по 1 білій і 2 чорних кульки. Навмання вибирається один ящик і з нього навмання виймається кулька. Знайти ймовірність того, що вона чорна.

21. Пасажир для придбання квитка може навмання звернутися до однієї з чотирьох кас. Ймовірності наявності квитка в касах відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Пасажир звернувся до однієї з кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток він придбав у третій касі?

22. До групи спортсменів входить 15 бігунів, 5 велосипедистів та 3 гімнасти. Ймовірність виконання норми розряду для бігуна становить 0,9, для велосипедиста – 0,8, для гімнаста – 0,75. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання спортсмен виконає норму розряду.

23. Робітник одержав три ящики деталей: в першому ящику 40 деталей, з них 10 пофарбованих; в другому – 50, з них 30 пофарбованих; в третьому – 30, з них 20 пофарбованих. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з довільно вибраного ящика, виявиться пофарбованою .

24. В магазин надходить 50% продукції від першого заводу, 40% – від другого заводу і решта – від третього заводу. Причому браковані вироби серед них становлять відповідно 10%, 15% і 5%. Навмання придбаний виріб виявився якісним. Яка ймовірність того його виготовив перший завод?

25. Дві секретарки заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність того, що помилки в документі зробить перша секретарка, становить 0,05, а друга – 0,2. Перша секретарка заповнила 20 документів, а друга – 30. Навмання взятий з папки документ не містить помилок. Визначити ймовірність того, що його заповнювала перша секретарка.

26. В ящик, який містить 8 білих і 9 чорні кульки, з однаковою ймовірністю опущена біла або чорна кулька. Після цього з ящика навмання виймають кульку. Знайти ймовірність того, що вона біла.

27. 60% виробів контролюється першим експертом, 40% - другим. Ймовірність забракувати дефектний вирів для першого та другого експерту відповідно 0,9 та 0,7. Знайти ймовірність того дефектний виріб забракують.

28. Деталі виготовляються в трьох цехах, причому перший виготовляє 30%, другий –25%, третій – 45%. Стандартні деталі для першого цеху становлять 95%, для другого – 90%, для третього – 85% від об’єму продукції кожного цеху. Навмання узяли деталь. Вона виявилася нестандартною. Яка ймовірність того, що вона виготовлена першим цехом.

29. З 25 стрільців 8 влучають у мішень з ймовірністю 0,8; 7 – з ймовірністю 0,6 і 10 – з ймовірністю – 0,5. Навмання вибраний стрілець, зробивши один постріл, у мішень не влучив. Знайти ймовірність того, що він належав до другої групи.

30. Є п’ять однакових ящиків. В першому міститься 3 білі й 1 чорна кульки, в другому - 3 білих і 2 чорних кульки, а в трьох решта – по 1 білій і 2 чорних кульки. Навмання вибирається один ящик і з нього навмання виймається кулька. Знайти ймовірність того, що вона біла.

Задача 4. Розв’язати задачу використовуючи поняття, твердження та теореми по темі «Повторні випробування».

1. По каналу зв’язку передається повідомлення з десяти знаків. Ймовірність помилки при передачі одного знаку дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що повідомлення містить не більше двох помилок. Визначити найімовірнішу кількість помилок у повідомленні.

2. Обчислити ймовірність враження мішені 75 разів при 100 пострілах, якщо ймовірність враження при одному пострілі 0,8. Визначити найімовірнішу кількість влучень у мішень.

3. У академії в середньому з першого разу залік здають 70% студентів. Знайти ймовірність того, що із 130 студентів з першого разу залік здадуть від 100 до 110 студентів. Обчислити найімовірнішу кількість студентів, що здадуть залік з першого разу.

3. У академії в середньому з першого разу залік здають 90% студентів. Знайти ймовірність того, що із 125 студентів з першого разу залік здадуть від 100 до 110 студентів. Обчислити найімовірнішу кількість студентів, що здадуть залік з першого разу.

3. При штампування автоматом деталей ймовірність появи бракованої деталі дорівнює 0,006. Знайти ймовірність того, що в партії з 700 деталей буде 4 бракованих. Обчислити найімовірнішу кількість бракованих деталей у партії.

3. Ймовірність попадання баскетболістом в кільце дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що з 5 кидків баскетболіст влучить в кільце не менше чотирьох разів. Визначити найімовірнішу кількість влучень.

3. Ймовірність того, що виріб є виробом першого ґатунку – 0,5. Знайти ймовірність того, що серед 2000 таких виробів виявиться 500 виробів першого ґатунку. Обчислити найімовірнішу кількість виробів першого ґатунку.

3. У тролейбусному парку 100 машин. Ймовірність готовності тролейбуса до виходу на лінію дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи тролейбусного парку, якщо для цього потрібно не менше 70 справних машин. Обчислити найімовірнішу кількість справних тролейбусів.

3. У середньому 3% виготовлених приладів потребують додаткового регулювання. Яка ймовірність того, що серед 200 перевірених приладів додаткового регулювання потребують 5 приладів? Обчислити найімовірнішу кількість приладів що потребують додаткового регулювання.

3. Студент складає екзамен. Білет екзамену (тест) містить 10 запитань. Ймовірність того, що студент дасть правильну відповідь дорівнює 0,7. Яка ймовірність того, що студент пройде тест, якщо для позитивної оцінки треба дати 7 чи більше правильних відповідей?

3. На факультеті 730 студентів. Ймовірність дня народження кожного студента в даний день дорівнює обчислити ймовірність того, що знайдуться три студенти у яких дні народження співпадають. Обчислити найімовірнішу кількість студентів, у яких співпадуть дні народження.

3. Знайти ймовірність одночасної зупинки 30 машин із 150 працюючих, якщо ймовірність зупинки для кожної з машин 0,15. Обчислити найімовірнішу кількість машин, що зупиняться.

3. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Знайти ймовірність того, що із 900 новонароджених буде не більше 500 хлопчиків. Обчислити найімовірнішу кількість новонароджених хлопчиків.

3. По каналу зв’язку передається повідомлення з десяти знаків. Ймовірність помилки при передачі одного знаку дорівнює 0,05. Знайти ймовірність того, що повідомлення містить не більше трьох помилок. Визначити найімовірнішу кількість помилок у повідомленні.

3. В академії в середньому з першого разу залік здають 80% студентів. Знайти ймовірність того, що зі 140 студентів з першого разу залік здадуть від 110 до 120 студентів. Обчислити найімовірнішу кількість студентів, що здадуть залік з першого разу.

3. Знайти ймовірність одночасної зупинки 10 машин із 200 працюючих, якщо ймовірність зупинки для кожної з машин 0,15. Обчислити найімовірнішу кількість машин, що зупиняться.

3. Обчислити ймовірність враження мішені 95 разів при 200 пострілах, якщо ймовірність враження при одному пострілі 0,8. Визначити найімовірнішу кількість влучень у мішень.

3. Ймовірність попадання баскетболістом в кільце дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що з 5 кидків баскетболіст влучить в кільце не менше чотирьох разів. Визначити найімовірнішу кількість влучень.

3. Ймовірність випуску свердла підвищеної крихкості дорівнює 0,03. Свердла складають у коробки по 200 штук. Знайти ймовірність того, що в партії з 10 таких коробок буде 2 свердла з підвищеною крихкістю. Визначити найімовірнішу кількість свердел із підвищеною крихкістю.

3. На факультеті 800 студентів. Ймовірність дня народження кожного студента в даний день дорівнює обчислити ймовірність того, що знайдуться 2 студенти у яких дні народження співпадають. Обчислити найімовірнішу кількість студентів, у яких співпадуть дні народження.

3. У тролейбусному парку 110 машин. Ймовірність готовності тролейбуса до виходу на лінію дорівнює 0,9. Знайти ймовірність нормальної роботи тролейбусного парку, якщо для цього потрібно не менше 70 справних машин. Обчислити найімовірнішу кількість справних тролейбусів.

3. Чотири елементи обчислювального пристрою працюють незалежно. Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента за час t дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що протягом часу t хоча б три елементи працюватимуть справно.

3. У середньому 2% виготовлених приладів потребують додаткового регулювання. Яка ймовірність того, що серед 300 перевірених приладів додаткового регулювання потребують 5 приладів? Обчислити найімовірнішу кількість приладів що потребують додаткового регулювання.

3. Ймовірність того, що виріб є виробом першого ґатунку – 0,6. Знайти ймовірність того, що серед 1000 таких виробів виявиться 500 виробів першого ґатунку. Обчислити найімовірнішу кількість виробів першого ґатунку.

3. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Знайти ймовірність того, що із 1100 новонароджених буде не більше 500 хлопчиків. Обчислити найімовірнішу кількість новонароджених хлопчиків.

3. Ймовірність того, що відвідувач взуттєвого магазину зробить покупку, становить 0,4. Визначити ймовірність того, що хоча б чотири з п’яти відвідувачів придбає взуття?

3. Знайти ймовірність того, що серед 950 студентів є 4 лівші, якщо в середньому вони складають 1% населення. Обчислити найімовірнішу кількість лівшів серед студентів.

3. Ймовірність випуску свердла підвищеної крихкості дорівнює 0,03. Свердла складають у коробки по 100 штук. Знайти ймовірність того, що в партії з 10 таких коробок буде 4 свердла з підвищеною крихкістю. Визначити найімовірнішу кількість свердел із підвищеною крихкістю.

3. При штампування автоматом деталей ймовірність появи бракованої деталі дорівнює 0,006. Знайти ймовірність того, що в партії з 500 деталей буде 3 бракованих. Визначити найімовірнішу кількість бракованих деталей.

3. Студент складає екзамен. Білет екзамену (тест) містить 10 запитань. Ймовірність того, що студент дасть правильну відповідь дорівнює 0,7. Яка ймовірність того, що студент пройде тест, якщо для позитивної оцінки треба дати 8 чи більше правильних відповідей?

Задача 5. Розв’язати задачу використовуючи основні поняття, теореми та формули теми «Дискретні випадкові величини»: для даних випадкових величин скласти закон розподілу, знайти математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення .

1. {число випадань “герба ” в трьох незалежних киданнях монети}.

2. {число випадань “цифри ” в трьох незалежних киданнях монети}.

3. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0,8. {число влучень баскетболіста в трьох кидках}.

4. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0.8. {число промахів баскетболіста в трьох кидках}.

5. В ящику 5 білих, 3 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число білих кульок серед вилучених}.

6. В ящику 5 білих, 3 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число чорних кульок серед вилучених}.

7. В ящику 5 білих, 3 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 3 кульки. {число синіх кульок серед вилучених}.

8. В партії з 30 деталей 5 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число бракованих деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

9. В партії з 30 деталей 5 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число якісних деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

10. Ймовірність влучення в ціль для стрільця за умови одного пострілу дорівнює 0,6. Стрілець зробив два постріли. {число влучень стрільця}.

11. {число випадань “герба ” в чотирьох незалежних киданнях монети}.

12. {число випадань “цифри ” в чотирьох незалежних киданнях монети}.

13. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0,9. {число влучень баскетболіста в чотирьох кидках}.

14. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0,9. {число промахів баскетболіста в чотирьох кидках}.

15. В ящику 6 білих, 4 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число білих кульок серед вилучених}.

16. В ящику 6 білих, 4 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число чорних кульок серед вилучених}.

17. В ящику 5 білих, 3 чорних та 4 синіх кульки. Навмання виймають 3 кульки. {число синіх кульок серед вилучених}.

18. В партії з 35 деталей 5 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число бракованих деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

19. В партії з 35 деталей 5 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число якісних деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

20. Ймовірність влучення в ціль для стрільця за умови одного пострілу дорівнює 0,8. Стрілець зробив три постріли. {число влучень стрільця}.

21. {число випадань “герба ” в п’яти незалежних киданнях монети}.

22. {число випадань “цифри ” в п’яти незалежних киданнях монети}.

23. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0,75. {число промахів баскетболіста в трьох кидках}.

24. Баскетболіст кидає м’яч в кільце тричі. Ймовірність влучення в кільце при одному кидку – 0,95. {число попадань баскетболіста в трьох кидках}.

25. В ящику 5 білих, 3 чорних та 4 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число білих кульок серед вилучених}.

26. В ящику 5 білих, 3 чорних та 4 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. {число чорних кульок серед вилучених}.

27. В ящику 5 білих, 6 чорних та 2 синіх кульки. Навмання виймають 3 кульки. {число синіх кульок серед вилучених}.

28. В партії з 30 деталей 3 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число бракованих деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

29. В партії з 30 деталей 3 бракованих. Перевіряють навмання вибрані 3 деталі. {число якісних деталей серед 3 деталей, що перевіряють}.

30. Ймовірність влучення в ціль для стрільця за умови одного пострілу дорівнює 0,7. Стрілець зробив три постріли. {число влучень стрільця}.

Задача 6. Випадкову величину задано функцією розподілу . Знайти функцію щільності розподілу , математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення . Обчислити ймовірність того, що випадкова величина прийме значення від до . Побудувати графіки функцій та :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задача 7. Задано розподіл системи випадкових величин :

У Х	у1	у2	у3	у4
х1	р11	р12	р13	р14
х2	р21	р22	р23	р24
х3	р31	р32	р33	р34

Знайти коефіцієнт кореляції ; побудувати прямі лінійних регресій та обчислити відповідні залишкові дисперсії.

Варіант						Варіант
1.		-4	-3	-2	-1	16.		-4	-1	0	1
	1	0,02	0,03	0,08	0,09		-3	0,02	0,10	0,08	0,07
	2	0,03	0,06	0,11	0,12		1	0,07	0,11	0,06	0,05
	3	0,13	0,12	0,13	0,08		2	0,09	0,12	0,04	0,19
2.		-3	-2	-1	0	17.		-4	0	1	2
	2	0,03	0,05	0,07	0,10		-3	0,01	0,07	0,12	0,15
	3	0,02	0,04	0,13	0,15		2	0,03	0,09	0,10	0,13
	4	0,15	0,14	0,07	0,05		3	0,05	0,11	0,08	0,06
3.		-2	-1	0	1	18.		-4	1	2	3
	0	0,01	0,02	0,09	0,13		-3	0,13	0,08	0,16	0,07
	1	0,05	0,07	0,13	0,15		1	0,11	0,06	0,08	0,09
	2	0,11	0,10	0,11	0,03		3	0,09	0,02	0,04	0,07
4.		-1	0	1	2	19.		-3	-1	0	1
	-1	0,06	0,05	0,07	0,09		-2	0,16	0,03	0,09	0,10
	0	0,04	0,08	0,11	0,12		0	0,08	0,09	0,03	0,08
	1	0,13	0,12	0,10	0,03		1	0,04	0,27	0,01	0,02
5.		0	1	2	3	20.		-3	0	1	2
	-2	0,07	0,06	0,07	0,09		-2	0,02	0,15	0,07	0,06
	-1	0,05	0,08	0,10	0,12		1	0,05	0,13	0,11	0,03
	0	0,11	0,09	0,13	0,03		2	0,08	0,11	0,15	0,04
6.		1	2	3	4	21.		-3	1	2	3
	-3	0,12	0,13	0,08	0,07		-2	0,03	0,06	0,12	0,06
	-2	0,05	0,06	0,07	0,10		2	0,08	0,09	0,08	0,10
	1	0,03	0,08	0,12	0,09		3	0,13	0,12	0,04	0,09
7.		-4	-2	-1	0	22.		-3	2	3	4
	-4	0,13	0,12	0,07	0,06		-2	0,01	0,05	0,09	0,13
	-3	0,13	0,04	0,10	0,11		1	0,08	0,09	0,15	0,14
	-2	0,04	0,07	0,07	0,06		3	0,12	0,08	0,04	0,02
8.		-2	0	1	2	23.		-4	-3	1	2
	-3	0,01	0,03	0,12	0,14		-1	0,13	0,04	0,12	0,05
	-2	0,10	0,06	0,07	0,09		1	0,02	0,17	0,05	0,11
	1	0,09	0,13	0,11	0,05		2	0,15	0,03	0,11	0,02
9.		-2	1	2	3	24.		-4	-3	2	3
	-3	0,13	0,10	0,07	0,04		-1	0,04	0,11	0,04	0,16
	-2	0,12	0,09	0,08	0,02		2	0,13	0,02	0,10	0,12
	0	0,03	0,12	0,11	0,09		3	0,07	0,12	0,01	0,08
10.		-2	2	3	4	25.		-3	-2	0	1
	-4	0,22	0,13	0,08	0,03		-2	0,15	0,02	0,11	0,13
	-3	0,08	0,06	0,05	0,02		1	0,08	0,09	0,07	0,12
	-2	0,08	0,12	0,08	0,05		3	0,01	0,14	0,03	0,05
11.		-1	1	2	3	26.		-3	-2	1	2
	-3	0,08	0,05	0,09	0,04		0	0,19	0,04	0,07	0,08
	0	0,13	0,06	0,11	0,07		2	0,11	0,09	0,05	0,06
	2	0,06	0,12	0,10	0,09		3	0,03	0,14	0,10	0,04
12.		-1	2	3	4	27.		-3	-2	2	3
	-3	0,09	0,08	0,05	0,13		-1	0,01	0,11	0,13	0,10
	1	0,08	0,16	0,01	0,11		1	0,03	0,09	0,15	0,06
	3	0,03	0,12	0,08	0,06		3	0,05	0,07	0,17	0,03
13.		0	2	3	4	28.		-3	-2	3	4
	-3	0,13	0,10	0,07	0,04		1	0,18	0,08	0,06	0,05
	2	0,02	0,06	0,10	0,16		3	0,16	0,10	0,04	0,03
	3	0,13	0,02	0,04	0,13		4	0,14	0,12	0,02	0,02
14.		-4	-3	-1	0	29.		-2	-1	1	2
	-3	0,05	0,10	0,06	0,11		0	0,11	0,07	0,04	0,09
	-1	0,13	0,06	0,12	0,07		1	0,09	0,13	0,06	0,01
	0	0,03	0,09	0,14	0,04		3	0,12	0,08	0,15	0,05
15.		-4	-3	0	1	30.		-2	-1	2	3
	-3	0,01	0,11	0,21	0,03		-1	0,01	0,16	0,22	0,05
	0	0,02	0,04	0,08	0,16		0	0,02	0,11	0,15	0,07
	1	0,01	0,09	0,03	0,21		3	0,04	0,07	0,07	0,03

ЛІТЕРАТУРА

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 424 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.– М.: Высш. шк., 2001.– 400 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.– М.: Высш. шк., 2002.– 479 с.

4. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. Для студ. вищ. навч. закл. / Р.К.Чорней, О.Ю.Дюженкова, О.Б.Жильцов та ін.; За ред. Р.К.Чорнея. – К.: МАУП, 2003. – 328с.

51