Властивості

1. Якщо та – незалежні, то , але не навпаки:

2. , тобто .

3. якщо , то та пов’язані лінійної залежністю

Нехай –система випадкових величин, де та – залежні випадкові величини. Тоді є можливим наближене представлення величини у вигляді лінійної функції величини :

,

де та - параметри, які треба визначити. Зазвичай ці параметри визначають за допомогою метода найменших квадратів. Функцію називають лінійною середньоквадратичною регресією на .

Прямою лінійної середньоквадратичної регресії на називають пряму, яка визначається рівнянням: , де – коефіцієнт кореляції, , .

Оскільки залежність є наближеною, то існує похибка цього наближення, яку називають залишковою дисперсією: . Вона характеризує величину помилки при заміні лінійною функцією .

Прямою лінійної середньоквадратичної регресії на називають пряму, яка визначається рівнянням: , де – коефіцієнт кореляції, , .

Оскільки залежність є наближеною, то існує похибка цього наближення, яку називають залишковою дисперсією: . Вона характеризує величину помилки при заміні лінійною функцією .

Зауваження 1. Обидві прямі регресії проходять через точку яку називають центром сумісного розподілу величин.

Зауваження 2. якщо то .

Зауваження 3. якщо обидві прямі регресії співпадають.

2. Приклади розв’язування завдань

Задача 9.1. Задано розподіл системи випадкових величин . Знайти умовний закон розподілу дискретної випадкової величини за умови, що дискретна випадкова величина набула значення , а також , ; коефіцієнт кореляції ; побудувати прямі лінійних регресій та обчислити відповідні залишкові дисперсії, якщо:

		-1	0	3
-2		0,01	0,02	0,04
-1		0,16	0,11	0,07
2		0,22	0,15	0,07
3		0,05	0,07	0,03

Розв’язування: побудуємо умовний закон розподілу дискретної випадкової величини за умови, що дискретна випадкова величина набула значення :

	-1	0	3

	-1	0	3

За знайденим умовним розподілом обчислимо умовне математичне сподівання та умовне середнє квадратичне відхилення:

Для обчислення коефіцієнта кореляції необхідно обчислити математичні сподівання та середні квадратичні відхилення випадкових величин. Побудуємо для цього їх розподіли:

	-1	0	3
	0,44	0,35	0,21

	-2	-1	2	3
	0,07	0,34	0,44	0,15

Визначимо рівняння прямої регресії на :

Обчислимо відповідну залишкову дисперсію:

Визначимо рівняння прямої регресії на

Обчислимо відповідну залишкову дисперсію:

,

Побудуємо отримані прямі регресії: