2.6. Неперервні випадкові величини

1. Короткі теоретичні відомості

Випадкова величина називається неперервною якщо існує така невід’ємна інтегрована функція , що функцію розподілу можна представити у вигляді:

Функцію називають щільністю розподілу або диференціальною функцією розподілу і знаходять за формулою:

.

Для диференціальної функції розподілу (щільності розподілу) справедливою є наступна умова нормування:

Імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу можна знайти за формулами:

Математичне сподівання неперервної випадкової величини обчислюється за формулою:

Дисперсія неперервної випадкової величини обчислюється за формулою:

2.6.2. Приклади розв’язування завдань

Задача 6.1. Випадкову величину задано функцією розподілу . Знайти функцію щільності розподілу , математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення . Побудувати графіки функції розподілу та функції щільності розподілу . Обчислити ймовірність того, що випадкова величина прийме значення від до , якщо

а) ; б) ; в) .

Розв’язання: знайдемо функцію щільності розподілу за формулою:

Обчислимо математичне сподівання випадкової величини :

Обчислимо дисперсію випадкової величини :

Обчислимо середнє квадратичне відхилення випадкової величини :

Обчислимо ймовірність того, що випадкова величина прийме значення від до , якщо

а) :

б) :

в) .

.

Відповідь: ; ; ; ; ; ;

Задача 6.2. Випадкову величину – прибуток туристичної агенції (тис. грн.) за день, задано диференціальною функцією розподілу. Обчислити середній прибуток агенції та міру відхилення прибутку від середнього значення, якщо

Розв’язання: для обчислення середнього прибутку агенції необхідно знайти математичне сподівання неперервної випадкової величини :

Для обчислення міри відхилення прибутку агенції від його середнього значення необхідно знайти спочатку дисперсію, а потім середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини :

Відповідь: ; .

7. Система двох випадкових величин

1. Короткі теоретичні відомості

У практичних застосуваннях теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатись із задачами, в яких результат досліду описують не однією, а двома або більше випадковими величинами. У таких випадках говорять про багатомірні випадкові величини або системи випадкових величин. Систему двох випадкових величин та як правило позначають символом . Вони можуть мати дискретний або неперервний характер.

Систему двох неперервних випадкових величин описують функцією розподілу ймовірностей F(x,y) та щільністю розподілу ймовірностей f(x,y):

;

, причому

Систему двох дискретних випадкових величин описують функцією розподілу ймовірностей та рядом розподілу ймовірностей, який найчастіше задають у вигляді таблиці:

				...
				...
				...
...		...	...	...	...
				...

Де , причому події утворюють повну групу подій:

Ряд розподілу двовимірної дискретної випадкової величини дозволяє отримати закони розподілу кожної компоненти окремо:

Х			...
p

Y			...
p

Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини за умови, що дискретна випадкова величина набула певного значення (сталася подія ), називається:

xi			...

Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини за умови, що дискретна випадкова величина набула певного значення (сталася подія ), називається:

уj			...

За умовними розподілами ймовірностей системи випадкових величин обчислюють за загальними правилами умовне математичне сподівання, умовну дисперсію та умовне середнє квадратичне відхилення.

Для опису систем випадкових величин використовують числові характеристики, які відображають зв'язок між Х та У.

Якщо компоненти системи не є незалежними, то прийнято визначати міру залежності між ними такими поняттями, як коваріація та коефіцієнт кореляції.

Для обчислення коваріації дискретних випадкових величин та використовують формулу

Коефіцієнтом кореляції випадкових величин та називають число, яке обчислюють за формулою:

.