2. Дискретні випадкові величини

2.5.1. Короткі теоретичні відомості

Розподілом випадкової величини називається відповідність між її значеннями та їх ймовірностями.

Щоб задати закон розподілу дискретної випадкової величини у табличному вигляді (ряд розподілу) наводять значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності:

			…		…
Р			…		…

де , причому .

Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу) називають функцію , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме значення менше ніж , тобто:

Математичне сподівання дискретної випадкової величини обчислюється за формулами:

перша формула застосовується тоді коли кількість можливих значень скінченна, а другу - коли кількість можливих значень зліченна.

Дисперсією дискретної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.

Дисперсія дискретної випадкової величини обчислюється за формулою:

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь із дисперсії:

2. Приклади розв’язування завдань

Задача 5.1. Імовірність того, що футболіст реалізує одинадцятиметровий штрафний удар дорівнює 0,9. Футболіст виконав три таких удари. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини - числа реалізованих штрафних ударів, а також обчислити її математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання: може набувати таких значень:

.

Удари проводяться футболістом незалежно один від одного. Імовірності реалізувати кожний із одинадцятиметрових штрафних ударів рівні між собою. Тому обчислимо ймовірності відповідних подій за формулою Бернуллі (біноміальний розподіл), вважаючи що

.

Отримаємо:

EMBED Equation.3

	0	1	2	3
Р	0,001	0,027	0,243	0,729

Перевірка:

Числові характеристики дискретної випадкової величини можна обчислити або за загальними формулами:

;

;

;

або за формулами, що є справедливими для біноміального розподілу:

	0	1	2	3
Р	0,001	0,027	0,243	0,729

Відповідь: ; ; ; .

Задача 5.2. Імовірність того, що банкомат при введенні пінкоду спрацює правильно – 0,97. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини - кількості введення пінкоду у банкомат до першого правильного спрацьовування банкомату. Обчислити її математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання: може набувати таких значень:

Знайдемо ймовірності цих значень, використовуючи теорему множення ймовірностей незалежних подій:

EMBED Equation.3

…

…

	1	2	3	4	…	n	…
Р	0,97	0,029	0,00087	0,000026	…		…

Перевірка:

вираз у дужках є сумою нескінченної геометричної прогресії із знаменником першим членом ; із шкільного курсу математики відомо що її значення обчислюється за формулою , тому:

Такі розподіли називають геометричними. Обчислимо числові характеристики за формулами, що є справедливими для геометричного розподілу, вважаючи, що

:

	1	2	…	n	…
Р	0,97	0,029	…		…

Відповідь: ; ; ; .

Задача 5.3. У партії 25 виробів. Серед них 6 бракованих. Навмання беруть 3 вироби. Побудувати ряд розподілу та обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини - кількості бракованих виробів серед узятих.

Розв’язання: може набувати таких значень:

.

Обчислення ймовірностей відповідних подій відбувається за комбінаторним правилом множення, а відповідний розподіл називають гіпергеометричним:

	0	1	2	3
Р	0,42	0,45	0,12	0,01

Перевірка:

Обчислимо числові характеристики дискретної випадкової величини за загальними формулами:

;

;

.

	0	1	2	3
Р	0,42	0,45	0,12	0,01

Відповідь: ; ; ; .