Приклади розв’язування завдань
Задача 4.1. Прилад містить 5 вузлів. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи протягом часу t ) для кожного вузла дорівнює 0,9. Вузли виходять з ладу незалежно один від одного. Знайти
а) ймовірність того, що протягом часу t відмовить два вузла;
б) ймовірність того, що протягом часу t відмовить не більше двох вузлів;
в) найімовірнішу кількість вузлів, що вийдуть з ладу.
Розв’язання: визначимо ймовірність відмови вузла:
.
За формулою Бернуллі, а також враховуючи що
а) обчислимо ймовірність того, що протягом часу t відмовить два вузла:
б) обчислимо ймовірність того, що протягом часу t відмовить не більше двох вузлів:
.
в) обчислимо найімовірнішу кількість вузлів, що вийдуть з ладу:
Відповідь:
;
;
.
Задача 4.2. У казино за вечір гральний кубик кинули 700 раз. Знайти
а) ймовірність того, що 5 зерен випало рівно 100 раз;
б) найімовірнішу кількість випадання 5 зерен на гральному кубику.
Розв’язання: обчислимо за класичним означенням ймовірності ймовірність випадання 5 зерен:
а)
Кількість незалежних випробувань є
достатньо великою (
),
тому для розв’язання задачі необхідно
застосувати одну із асимптотичних
теорем. Проаналізувавши числове значення
приходимо до висновку, що відповідь на
питання задачі доцільно шукати за
локальною теоремою Муавра - Лапласа, а
також враховуючи що
.
Функція
є парною, тобто.
.
Аргументи функції
обчислюють
до сотих. А відповідні значення функцій
знаходять за таблицею, при цьому
вважається, що для
,
тому:
б) обчислимо найімовірнішу кількість випадання 5 зерен на гральному кубику:
Відповідь:
;
.
Задача 4.3. Бібліотека налічує 3000 книжок з них 2000 мають тверду обкладинку. Знайти
а) ймовірність того, що зі 100 навмання замовлених книжок тверду обкладинку мають не менше 60;
б) найімовірнішу кількість книжок у твердій обкладинці серед 100 замовлених.
Розв’язання: за класичним означенням ймовірності визначимо ймовірність того, що у замовленої книжки буде тверда обкладинка:
.
а)
Кількість незалежних випробувань є
достатньо великою (
),
тому відповідь на питання задачі будемо
шукати за інтегральною теоремою Муавра
- Лапласа, а також враховуючи що
.
Функція
є непарною, тобто
.
Аргументи функції
обчислюють
до сотих. А відповідні значення функцій
знаходять за таблицею, при цьому
вважається, що для
,
тому:
б) обчислимо найімовірнішу кількість книжок у твердій обкладинці серед 100 замовлених:
Відповідь:
;
.
Задача 4.4. Завод відправив на базу 5000 якісних виробів. Ймовірність того, що під час перевезення виріб буде пошкоджено дорівнює 0,0002. Знайти
а) ймовірність того, що на базу прибудуть 3 пошкоджені вироби;
б) найімовірнішу кількість пошкоджених виробів.
Розв’язання: проаналізувавши умову задачі отримуємо
а)
Так як кількість незалежних випробувань
є достатньо великою (
),
то для відповіді на питання задачі
необхідно застосувати одну з асимптотичних
теорем. Ймовірність пошкодження є
достатньо малою (
)
,
тому доцільно використати теорему
Пуассона :
б) обчислимо найімовірнішу кількість пошкоджених виробів:
Відповідь:
;
.