2. Повна ймовірність. Формула байєса.

2.3.1. Короткі теоретичні відомості

Формула повної ймовірності. Якщо випадкова подія може з’явитись лише сумісно з однією із подій , що утворюють повну групу несумісних подій, тоді ймовірність події обчислюють за формулою:

Події називають гіпотезами.

Формула Байєса:

2. Приклади розв’язування завдань

Задача 3.1. До групи спортсменів належать 20 бігунів, 6 велосипедистів та 4 гімнасти. Ймовірність виконання норми розряду для бігуна становить 0,95, для велосипедиста – 0,8, а для гімнаста – 0,75. Визначити ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен виконає норму розряду.

Розв’язання: нехай подія – навмання вибраний спортсмен виконає норму розряду. Сформулюємо гіпотези:

- обраний спортсмен є бігуном;

- обраний спортсмен є велосипедистом;

- обраний спортсмен є гімнастом.

Тоді за умовою, а також враховуючи те, що до групи входять усього 30 спортсменів:

Таким чином за формулою повної ймовірності:

Відповідь: .

Задача 3.2. Робітник одержав три ящики деталей. У першому містилось 50 деталей, з яких 20 пофарбовані. У другому – 40 деталей, з яких 30 пофарбовані. У третьому – 30 деталей, з яких 20 пофарбовані. Навмання взята деталь із довільно вибраного ящика виявилася пофарбованою. Знайти ймовірність того, що вона була узята із другого ящика.

Розв’язання: нехай подія – навмання взята деталь із довільно вибраного ящика є пофарбованою. Сформулюємо гіпотези:

- деталь узяли із першого ящика;

- деталь узяли із другого ящика;

- деталь узяли із третього ящика.

Тоді відповідь на питання задачі шукатимемо за формулою Байеса:

.

Відповідь: .

2. Повторні випробування

2.4.1. Короткі теоретичні відомості

Формула Бернуллі. Ймовірність того, що деяка подія в незалежних повторних випробуваннях відбудеться рівно раз обчислюється за формулою:

, де

- ймовірність того, що подія відбудеться в одному з незалежних повторних випробувань;

- ймовірність того, що подія не відбудеться в одному з незалежних повторних випробувань:

Локальна теорема Муавра - Лапласа. Якщо ймовірність появи події в кожному випробування стала і відмінна від 0 та 1, то наближене значення ймовірності того, що подія відбудеться в випробуваннях рівно раз обчислюється за формулою:

, де

- функція Гауса.

Інтегральна теорема Муавра - Лапласа. Якщо ймовірність появи події в кожному випробування стала і відмінна від 0 та 1, то наближене значення ймовірності того подія відбудеться в випробуваннях від до раз обчислюється за формулою:

, де

- функція Лапласа.

Теорема Пуассона. Якщо ймовірність появи події в кожному випробування стала ( ) та добуток зберігає стале значення, то наближене значення ймовірності того подія відбудеться в випробуваннях рівно раз обчислюється за формулою:

Зауваження 1. Значення функцій , , наведені у таблицях.

Зауваження 2. Локальну та інтегральну теореми Муавра – Лапласа, а також теорема Пуассона через їх наближений характер називають асимптотичними або граничними теоремами.

Найімовірніша кількість появ події в випробуваннях визначається з нерівності: