Приклади розв’язування завдань
Задача 1.1. Код складається з п’яти елементів, де перші три – різні цифри, а дві останні – різні букви латинського алфавіту. Визначити кількість можливих варіантів кодів.
Розв’язання:
Перший спосіб:
першу цифру коду можна обрати десятьма способами (усього існує 10 цифр). Так як у коді жодна цифра не повторюється, то другу цифру можна обрати дев’ятьма способами, а третю – вісьмома.
Латинський алфавіт налічує 26 букв. Тому для вибору четвертого елементу коду є 26 способів, а для п’ятого – 25 способів (так як за умовою букви коду мають бути різними).
Таким чином за комбінаторним правилом множення існує
10∙9∙8∙26∙25=468000
можливих варіантів кодів.
Другий спосіб:
із
десяти цифр можна скласти
тризначних
чисел, а із 26 букв латинського алфавіту
пар
букв.
Таким чином за комбінаторним правилом множення існує
можливих варіантів кодів.
Відповідь:468000 кодів.
Задача 1.2. Код складається з п’яти елементів, де перші три –цифри, а дві останні –букви латинського алфавіту. Визначити кількість можливих варіантів кодів.
Розв’язання:
Перший спосіб:
першу цифру коду можна обрати десятьма способами (усього існує 10 цифр). Так як у коді жодна цифри можуть повторюватись, то другу та третю цифри можна також обрати десятьма способами.
Латинський алфавіт налічує 26 букв. Тому для вибору четвертого та п’ятого елементів коду є 26 способів (так як за умовою букви коду можуть бути однаковими).
Таким чином за комбінаторним правилом множення існує
10∙10∙10∙26∙26=676000
можливих варіантів кодів.
Відповідь:676000 кодів.
Задача 1.3. Скільки різних п’ятизначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?
Розв’язання:
Перший спосіб:
першу цифру числа можна обрати чотирма способами (з 0 число починатись не може). Так як у числі жодна цифра не повторюється, то другу цифру можна обрати також чотирма способами. Третю – трьома. Четверту – двома і п’яту – одним способом.
Таким чином за комбінаторним правилом множення з цифр 0, 1, 2, 3, 4 можна скласти
4∙4∙3∙2∙1=96
різних п’ятизначних чисел.
Другий спосіб:
із п’яти цифр можна скласти 120 різних п’ятизначних «чисел»:
Р5 =5!=120.
Однак не усі з них будуть числами у математичному розумінні, так як відомо, що з 0 число починатись не може. Визначимо кількість таких «чисел»:
-
0
*
*
*
*
0
1
2
3
4
0
1
2
4
3
0
1
4
2
3
0
…
…
…
…
Р4 =4!=24.
Таким чином з цифр 0, 1, 2, 3, 4 можна скласти:
Р5 -Р4=120-24=96
різних п’ятизначних чисел.
Відповідь: 96 чисел.
Задача 1.4. Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?
Розв’язання:
Перший спосіб:
першу цифру числа можна обрати чотирма способами. Так як у числі жодна цифра не повторюється, то другу цифру можна обрати трьома способами, а третю – двома.
Таким чином за комбінаторним правилом множення з цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти
4∙3∙2=24
різних тризначних чисел.
Другий спосіб:
із чотирьох цифр можна скласти 24 різних тризначних числа:
у яких жодна цифра не повторюється.
Відповідь: 24 числа.
Задача 1.5. Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4?
Розв’язання: першу цифру числа можна обрати чотирма способами. Так як у числі цифри можуть повторюватись, то другу і третю цифри можна обрати також чотирма способами.
Таким чином за комбінаторним правилом множення з цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти
4∙4∙4=64
різних тризначних чисел.
Відповідь: 64 числа.