Інтегрування деяких тригонометричних функцій Приклади розв’язування завдань
Задача 8. Знайти інтеграли від тригонометричних функцій
Розв’язання.
Використаємо універсальну тригонометричну підстановку:
Тоді виконавши відповідну заміну отримаємо:
Виконаємо обернену підстановку:
У даному випадку доцільно підінтегральний вираз перетворити за формулою:
Тоді
У даному
випадку, так як
знаходиться у непарній степені, доцільно
виконати заміну
,
тобто:
Тоді
Відповідь:
а)
;
б)
;
в)
.
Визначений інтеграл Приклади розв’язування завдань
Задача 9. Обчислити визначений інтеграл, використовуючи формулу інтегрування частинами.
Розв’язання
Метод інтегрування частинами базується на формулі
.
Диференціал
функції
обчислюють за формулою
,
а функцію
знаходять інтегруванням виразу
:
.
.
П
еревірити
правильність отриманого результату
можна за допомогою програмно-педагогічного
засобу GRAN
або
застосовуючи інші інформаційно-комунікаційні
технології.
Відповідь:
.
Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ Приклади розв’язування завдань Задача 10. Знайти площу фігури, яка обмежена вказаними лініями та . Побудувати відповідні креслення.
Розв’язання:
Графіком
квадратичної функції
є парабола,
вітки
якої спрямовані вниз і яка перетинає
вісь
в точках
та
.
Знайдемо абсциси точок перетину параболи
з
прямою
:
Оскільки
плоска фігура, площу
якої необхідно знайти, обмежена зверху
графіком функції
,
знизу – прямою
,
зліва – вертикальною прямою
,
а справа – вертикальною прямою
,
то
(кв.
одиниць).
Відповідь: 4,5.
РОЗДІЛ 5 . Завдання для індивідуального виконання
Задача № 1. Знайти похідні першого порядку.
1. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
2. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
3. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
4. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
5. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
6. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
7. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
8. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
9. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
10. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
11. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
12. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
13. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
14. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
15. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
16. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
17. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
18. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
19. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
20. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
21. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
22. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
23. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
24. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
25. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
26. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
27. |
а)
|
в)
|
д)
|
б) |
г)
|
||
28. |
а)
|
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
||
29. |
а) |
в)
|
д) |
б)
|
г)
|
||
30. |
а) |
в)
|
д)
|
б)
|
г)
|
Задача № 2. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя.
1.
|
16.
|
2.
|
17.
|
3.
|
18.
|
4.
|
19.
|
5.
|
20.
|
6.
|
21. |
7.
|
22.
|
8.
|
23.
|
9.
|
24.
|
10.
|
25.
|
11.
|
26.
|
12.
|
27.
|
13.
|
28.
|
14.
|
29.
|
15.
|
30.
|
Задача №3. Дослідити функцію та побудувати її графік
1. |
11.
|
21.
|
2.
|
12.
|
22.
|
3.
|
13.
|
23.
|
4.
|
14.
|
24.
|
5.
|
15.
|
25.
|
6.
|
16.
|
26.
|
7.
|
17.
|
27.
|
8.
|
18.
|
28.
|
9.
|
19.
|
29.
|
10.
|
20.
|
30.
|
Задача
№ 4
. Нехай задана функція декількох змінних
знайти
та
.
1.
|
16.
|
2.
|
17.
|
3.
|
18.
|
4.
|
19.
|
5.
|
20.
|
6.
|
21.
|
7.
|
22.
|
8.
|
23.
|
9.
|
24.
|
10.
|
25.
|
11.
|
26.
|
12.
|
27.
|
13.
|
28.
|
14.
|
29.
|
15.
|
30.
|
Задача № 5. Дослідити функцію на екстремум
1.
|
16.
|
2.
|
17.
|
3.
|
18.
|
4.
|
19.
|
5.
|
20.
|
6.
|
21.
|
7.
|
22.
|
8.
|
23.
|
9.
|
24.
|
10.
|
25.
|
11.
|
26. |
12.
|
27.
|
13.
|
28.
|
14.
|
29.
|
15.
|
30.
|
Задача 6. Знайти інтеграли, користуючись таблицею інтегралів та найпростішими правилами інтегрування.
1. |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
19. |
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
21. |
|
|
|
|
|
22. |
|
|
|
|
|
23. |
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
25. |
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
28. |
|
|
|
|
|
29. |
|
|
|
|
|
30. |
|
|
|
|
|
Задача 7. Знайти інтеграли від функцій, які містять квадратний тричлен (а) та від раціональних дробів (б).
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|
15. |
|
|
16. |
|
|
17. |
|
|
18. |
|
|
19. |
|
|
20. |
|
|
21. |
|
|
22. |
|
|
23. |
|
|
24. |
|
|
25. |
|
|
26. |
|
|
27. |
|
|
28. |
|
|
29. |
|
|
30. |
|
|
Задача 8. Знайти інтеграли від тригонометричних функцій
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|
15. |
|
|
16. |
|
|
17. |
|
|
18. |
|
|
19. |
|
|
20. |
|
|
21. |
|
|
22. |
|
|
23. |
|
|
24. |
|
|
25. |
|
|
26. |
|
|
27. |
|
|
28. |
|
|
29. |
|
|
30. |
|
|
Задача 9. Обчислити визначений інтеграл, використовуючи формулу інтегрування частинами.
1.
|
11.
|
21.
|
2.
|
12.
|
22.
|
3.
|
13.
|
23.
|
4.
|
14.
|
24.
|
5.
|
15.
|
25.
|
6.
|
16.
|
26.
|
7.
|
17.
|
27.
|
8.
|
18.
|
28.
|
9.
|
19.
|
29.
|
10.
|
20.
|
20. |
