2. Правило Лопіталя Приклади розв’язування завдань

Задача № 2. Знайти границю , використовуючи правило Лопіталя.

Розв’язання:

Отримали невизначеність виду . Розкриємо отриману невизначеність за

допомогою правила Лопіталя, тобто за формулою:

Тоді

Відповідь: .

3. Застосування диференціального числення для дослідження функцій Приклади розв’язування завдань

Задача №3. Дослідити функцію та побудувати її графік .

Розв’язання: Проведемо дослідження функції за наступною схемою:

1. Знайдемо область визначення функції. Функція відноситься до дробово-раціональних функцій, отже областю її визначення є множина дійсних чисел за винятком нулів знаменника :

Отже:

.

2. Знайдемо точки перетину графіка функції з координатними осями.

Точки перетину з віссю знайдемо, поклавши що , тобто розв’язавши наступне рівняння:

Отже, точка є єдиною точкою перетину з віссю .

Точки перетину з віссю знайдемо, поклавши що тобто розв’язавши наступне рівняння:

Отже, точка є єдиною точкою перетину з віссю .

3. Знайти інтервали знакосталості функції. Тобто де графік функції знаходиться вище осі ( ) та нижче осі ( ).

Розв’яжемо нерівність :

.

Розв’яжемо нерівність :

.

Таким чином, в точках інтервалів графік функції знаходиться вище осі , а в точках інтервалу функції знаходиться нижче осі .

4. Дослідимо функцію на періодичність, парність і непарність. Функція є неперіодичною.

З’ясуємо чи є функція парною, тобто чи виконується рівність:

Отже функція не є парною, а відповідно її графік не є симетричним відносно вісі .

З’ясуємо чи є функція непарною, тобто чи виконується рівність:

Отже функція не є непарною, а відповідно її графік не є симетричним відносно точки .

Таким чином функція є ні парною ні непарною.

5. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Оскільки функція є елементарною, то вона неперервна в усіх точках області визначення. Тобто точка – єдина точка розриву функції. Обчислимо ліву та праву границі в цій точці:

,

.

Отже, – точка розриву другого роду.

6. Знайдемо екстремуми та інтервали монотонності функції. Обчислимо похідну першого порядку даної функції:

.

Знайдемо критичні точки функції, тобто точки у яких похідна першого порядку дорівнює нулеві або не існує:

,

, ,

Розбиваємо отриманими точками область визначення на інтервали та встановлюємо знак похідної на кожному з отриманих інтервалів. Для цього досить визначити знак похідної в одній довільній внутрішній точці кожного інтервалу:

Отже, інтервал є інтервалом зростання функції ( ), а на інтервалах функція є спадною ( ).

Серед стаціонарних точок, тобто точок де похідна дорівнює нулеві, виявимо екстремальні точки. Як відомо «при переході через» екстремальні точки похідна змінює свій знак.

Оскільки на інтервалі похідна додатна, а на від’ємна, то стаціонарна точка є точкою локального мінімуму функції. Обчислимо її другу координату:

Оскільки на інтервалах та похідна не змінює знак (від’ємна), то стаціонарна точка не є екстремальною точкою функції.

7. Знайдемо інтервали опуклості даної функції та точки перегину її графіка.

Обчислимо похідну другого порядку даної функції:

.

Знайдемо точки функції, у яких похідна другого порядку дорівнює нулеві або не існує:

,

,

Розбиваємо отриманими точками область визначення на інтервали та встановлюємо знак похідної другого порядку на кожному з отриманих інтервалів.

Отже, інтервал є інтервалом де функція є опуклою вниз ( ), а на інтервалі функція опукла вгору ( ).

Знайдемо точки перегину графіка досліджуваної функції. Відомо, що при переході через них похідна другого порядку має змінювати знак. Таким чином точка з абсцисою є точкою перегину. Знайдемо її другу координату:

- точка перегину.

8. Знайдемо асимптоти графіка даної функції.

Знайдемо вертикальні асимптоти. Із попереднього дослідження (п.5) відомо, що точка є точкою розриву, також те що:

Таким чином є вертикальною асимптотою графіка даної функції.

Знайдемо похилі асимптоти. Відомо, що їх шукають у вигляді , де обчислюють за формулами:

.

Тоді

,

.

Отже, пряма є похилою асимптотою графіка функції.

9. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції.

РОЗДІЛ 3. Методичні вказівки до розв’язання завдань з розділу «Диференціальне числення функцій багатьох змінної»