1. Границі Приклади розв’язування завдань

Задача №7. Обчислити границю функції

а) ; ;

в) ; г) ;

Розв’язання:

а)

Маємо невизначеність вигляду . Розкриємо вказану невизначеність, позбавившись від так званого критичного множника. Для цього знайдемо корені квадратних тричленів та , розв’язавши відповідні квадратні рівняння:

1)

; .

Тоді враховуючи, що

2)

;

Тоді враховуючи, що

Отже

.

Маємо невизначеність вигляду . Щоб розкрити невизначеність вигляду , яка задана відношенням двох многочленів, треба і чисельних і знаменник розділити на найвищий степінь у цих многочленах.

Керуючись цим загальним прийомом, поділимо чисельник і знаменник дробу на :

в)

Маємо невизначеність вигляду . Розкриємо дану невизначеність помноживши чисельник та знаменник функції під знаком границі на вираз, спряжений до знаменника :

.

г) ;

Маємо невизначеність вигляду . Розкрити її можна кількома способами.

1 Спосіб.

Застосуємо формулу :

Використаємо так звану «першу чудову границю»:

Адже

.

Так як за «першою чудовою границею»:

.

Крім того,

.

.

2 Спосіб.

Його суть також зводиться до використання «першої чудової границі»:

.

Маємо невизначеність вигляду . Для розкриття невизначеностей вигляду використовують так звану «другу чудову границю»:

.

Так як за «другою чудовою границею»:

.

Крім того,

.

Відповідь: а) ; б) 4; в) 6; г) ; д) 2.

5.2.Точки розриву Приклади розв’язування завдань

Задача № 8. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують, та побудувати графік цієї функції.

Розв’язання:

У кожній внутрішній точці інтервалів функція неперервна. Точками розриву можуть бути лише граничні точки інтервалів. Дослідимо їх обчисливши відповідні односторонні границі:

1. Дослідимо на неперервність точку

Таким чином у точці функція неперервна, так як:

2. Дослідимо на неперервність точку

Таким чином точка є точкою розриву І-го роду, так як:

На внутрішніх точках інтервалів функція не є неперервною:

Дослідимо точку , обчисливши відповідні односторонні границі:

не існує

Таким чином точка є точкою розриву ІІ-го роду.

Точкою розриву може бути також гранична точка інтервалів. Дослідимо на неперервність точку :

Таким чином у точці є точкою розриву І-го роду, так як:

Відповідь: а)точка є точкою розриву І-го роду заданої функції ;

б) точка є точкою розриву І-го роду заданої функції ; точка є точкою розриву І-го роду заданої функції .

РОЗДІЛ 6 . Завдання для індивідуального виконання

Задача № 1. Знайти 3∙В∙А- 2∙В^Т+4∙Е, де Е – одинична матриця третього порядку:

,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
, ,	, ,
,	,
,	,
,	,
,	,