2. Системи лінійних рівнянь Приклади розв’язування завдань

Задача 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь а) методом Крамера; б) матричним методом; в) методом Гаусса.

Розв’язання:

а) Розв’яжемо систему методом Крамера. Основна матриця системи та матриця-стовпець вільних членів відповідно мають вигляд:

, .

Обчислимо визначник основної матриці А за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 3):

Матриця А не є виродженою ( ), тому розв’язок системи можемо знайти за формулами Крамера:

, , , де

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною першого її стовпця стовпцем вільних членів;

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною другого її стовпця стовпцем вільних членів;

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною третього її стовпця стовпцем вільних членів.

Обчислимо визначники , , за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel:

.

.

.

Тоді за формулами Крамера отримуємо:

, , .

б) Розв’яжемо систему матричним методом. Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь рівносильна матричному рівнянню

, де , ,

Вказане матричне рівняння (а відповідно і система лінійних алгебраїчних рівнянь) при не виродженій матриці А ( ) має розв’язок:

,

де - матриця обернена до матриці , її знаходять за формулою наведеною нижче або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 4-5):

Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

, , ,

,

,

,

,

,

.

Отже .

Тоді перемноживши відповідні матриці за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 6-7) отримаємо остаточний результат:

, звідки , , .

в) Розв’яжемо систему методом Гаусса. Для цього виконаємо над системою декілька елементарних перетворень, з метою зведення її до трикутного вигляду. Елементарні перетворення зручніше виконувати над відповідною розширеною матрицею системи:

Обернений хід метода Гаусса можна провести продовжуючи виконувати елементарні перетворення над розширеною матрицею системи, з метою зведення основної матриці до одиничної:

Відповідь: , , .

РОЗДІЛ 3. Методичні вказівки до розв’язання завдань з розділу «Елементи векторної алгебри»

3.1. Вектори і дії з ними Приклади розв’язування завдань

Задача № 3. Задані вектори

а) обчислити суму, різницю та скалярний добуток векторів -4 і ;

б) знайти модуль векторного добутку векторів 3 і ;

в) обчислити мішаний добуток векторів , 3 , .

Розв’язання:

а) З’ясуємо координати векторів -4 і :

.

Обчислимо суму векторів -4 і :

Обчислимо різницю векторів -4 і :

Обчислимо скалярний добуток векторів -4 і :

.

б) З’ясуємо координати векторів 3 і :

.

Знайдемо векторний добуток векторів 3 і :

Обчислимо модуль векторного добутку векторів 3 і :

.

в) З’ясуємо координати векторів , 3 , :

Обчислимо мішаний добуток векторів , 3 , :

Відповідь: ; ; ; ; .

Задача № 4. Задані чотири точки , , . Знайти

а) кут ;

б) площу трикутника

в) об’єм трикутної піраміди з вершинами в точках А₁, А₂, А₃, А₄;

Розв’язання:

а) Кут будемо розглядати як кут між векторами та . Знайдемо його за формулою:

Для того щоб використати вказану формулу необхідно обчислити координати векторів та :

,

,

Тоді

.

Таким чином кут

б) Трикутник є трикутником, побудованим на векторах та , тому її площу можна знайти за формулою:

.

Враховуючи, що:

,

,

обчислимо векторний добуток та його модуль:

.

Отже,

(кв. одиниць).

в) Трикутну піраміду з вершинами в точках А₁, А₂, А₃, А₄ будемо розглядати як піраміду, побудовану на векторах , , . Її об’єм знайдемо за формулою:

.

З’ясуємо координати векторів , , :

,

,

.

Знайдемо мішаний добуток цих векторів :

.

Тоді

(куб. одиниць).

Відповідь: а) ; б) ; в)

РОЗДІЛ 4. Методичні вказівки до розв’язання завдань з розділу «Елементі аналітичної геометрії»