Вынужденные колебания упругих тел.

Пусть на тело действуют периодические силы с круговой ча­стотой . Для простоты будем считать, что массовые силы от­сутствуют , а на всей поверхности тела внешние силы представимы в виде

.

Рассмотрение более общего случая дополнительных трудностей не встречает. Полагая перемещения и напряжения также пропорциональными и сохраняя обозначения и для амплитуд перемещений и напряжений, получим из (1) следующие уравнения:

. (12)

На поверхности должны выполняться граничные условия

. (13)

Представим искомое решение в виде

. (14)

Здесь , — решение статической задачи теории упругости, удовлетворяющее уравнениям равновесия

,

уравнениям связи и граничным условиям (13). Тогда, подставив (14) в (12), получим, что первая часть решения , удовлетворяет следующим уравнениям движения:

(15)

при однородных граничных условиях. Положим

.

Подставляя эти выражения в (15) и исключая производные от амплитуд напряжений с помощью (8), получим

.

Умножая на и интегрируя по объему, с помощью условия ортонормированности собственных функций (9) найдем

.

Отсюда следует

.

Если , то частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот упругого тела, и соответствующий коэффициент с течением времени обращается в бесконечность. Это явление называют резонансом.

В случае непериодического воздействия внешних сил для описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностная нагрузка и искомое решение представляются в виде разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций. Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет получить уравнения для определения неизвестных функции времени.

Неравенство Рэлея и метод Ритца.

Умножим обе части уравнения (7) на , проинтегрируем по объему и решим полученное равенство относительно . Тогда

. (16)

Преобразуя числитель интегрированием по частям при однородных граничных условиях (интеграл по поверхности будет равен нулю), получим

. (17)

Если , то уравнение (7) выполняется при и формула (16) либо (17) даст точное значение квадрата собственной частоты с номером . Но если — произвольные функции, то уравнение (7) не выполняется, формула (17) определяет некоторое число , которое, вообще говоря, не представляет собой квадрат частоты каких-либо свободных колебаний системы.

Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части формул (16), (17), позволяет получить оценку, по крайней мере, для наименьшей из собственных частот. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что

.

Выберем в качестве произвольную систему трех дифференцируемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Разложим их в ряд по системе собственных функций

.

А так как вследствие (8)

,

то, умножив на и проинтегрировав, получим

.

Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных форм

.

Теперь соотношение (16) можно переписать следующим образом:

или

.

Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего члена ряда в знаменателе, так как , поэтому и (17) можно заменить неравенством Рэлея

. (18)

Здесь — упругий потенциал, вычисленный для заданной системы перемещений ; — выражение кинетической энергии, в которой скорости заменены перемещениями .

Неравенство (18) дает верхнюю оценку для низшей частоты колебаний упругого тела. Если функции содержат некоторое число неопределенных параметров , то и . Наилучшим приближением для будут значения , минимизирующие дробь в правой части (18), поэтому должно быть

.

Отсюда

,

или, полагая ,

. (19)

Наиболее простой результат получается, когда параметры входят в выражение линейно, а именно:

. (20)

Уравнения (19) линейны и однородны; для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению -ой степени относительно . Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень уравнения будет давать верхнюю оценку для , которая может только улучшиться с увеличением . При увеличении корень уравнения с номером будет стремиться к величине , при этом нельзя сказать — сверху или снизу. Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Следует заметить, что для ее выполнения необходима полнота системы функций , т.е. возможность представления любой допустимой системы перемещений в виде (20). Описанная приближенная процедура определения частот называется методом Ритца.