5.5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Ozили, что то же самое

а = а_х •i + а_у • j +а_z • k,    b =b_х • i + b_у • j + b_z • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1.          а ± b = (а_х±b_х)i + (а_у±b_y)j + ( a_z± b_z)k, или кратко а ± b= (а_х ±b_x; a_y± b_y; a_z ± b_z). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2.             а =  а_х • i +  а_у • j+   a_z • kили короче   а = (а_х; а_у; а_z). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: a_х= b_х; а_у=b_y; a_z= b_z  , т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а =  • b, где -некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектораОМ называются координатами точки М. ВекторОМ называетсярадиус-векторомточки

М, обозначается r , т. е. ОМ= r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

 

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).

Координаты вектора Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A( x₁; y₁; z₁) и В( x₂;у₂; z₂). Имеем (см. рис. 13):

        AB=OB-OA=(x₂i+y₂j+z₂k)-(x₁i+y₁j+z₁k)=(x₂ - x₁)i+(y₂ - y₁)j+(z₂ - z₁)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х₂-х₁;у₂-у₁; z₂- z₁).

6.

6.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

 

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как |a| cos=пр_ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр_ab, то получаем:

     

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

 

Решение:                                                             

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если ab, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.