1.10 Теорема Котельникова в частотной области

f(t) ;

F()= ,

и -пределы вне которых функция f(t) равна нулю.

где

Отсюда мы можем вывести теорему Котельникова:

Если f(t) определена только на интервале , то её спектр F() полностью определяется дискретным множеством своих значений, взятых в равноотстоящих точках, разделённых интервалом .

- ряд Котельникова в частотной области.

Энергия дискретизированной функции.

Теорема Парсеваля, позволяет утверждать, что среднеквадратичное значение f(t) равно сумме квадратов абсолютных значений коэффициента разложения этой функции в ряд Фурье.

Заменим f(t) на решетчатую функцию :

1.11 Квантование сигналов

После квантования сигнал может принимать ограниченное число состояний или отчётливых различных сигналов.

Если ступенчатая функция характеризуется одинаковой величиной ступенек, то такая характеристика называется регулярной. Если ступени неодинаковые, то нерегулярной. Характеристика квантователя меняется во времени. При квантование имеется опасность появления флуктуации – выходного сигнала при переходе от одной ступени к другой, из за нечастого квантования (шум-квантования).

Квантование является нелинейной операцией. Точность зависит от того, насколько мала ступень квантования.

Ошибка квантования (t)- функция элементарного уровня, она не может превышать значение q, её можно рассмотреть как шум; 0 .

Частота квантования связана с x(t), которая в свою очередь связана с частотой сигнала в этом спектре.

(t) может рассматривать как последовательность отрезков, с переменной амплитудой q+2.

где -переменная крутизна.

Чем меньше ступень квантования, тем меньше шум.

1.12 Способы квантования сигналов

Если входной сигнал в процессе передачи изменяется таким образом, что эффективно используемое число ступеней квантования уменьшается, то выгодно сжать элементарные уровни при изменении сигнала с малыми амплитудами и расширить эти же уровни для сигналов с большими амплитудами.

Элементарный уровень следует закону:

где f(n)-функция повторения, которая определяется таким образом, чтобы оптимизировать процесс передачи.

Данная операция квантования получила название – динамическое амплитуда.

- шум квантования.

В случае логарифмического квантования интервал квантования q, является функцией порядкового уровня определяемого выражением:

Такое квантование позволяет улучшить передачу кодированного сигнала без увеличения уровней квантования, при этом значительно улучшается качество сигналов низкого уровня.

1.13 Квантование дискретизированных сигналов

x(t)-p(x);

Вероятность с которой x(t) расположится в интервале будет равна вероятности p(x)dx.

x(t)-дискретизированная функция.

При квантование с малым шагом можно рассматривать квантователь как источник случайного шума. Если степени маленькие, то шум квантования не зависит от входного сигнала.

Так как статистическая функция полностью определяется через свои функции распределения, то если можно определить распределение выходного квантованного сигнала, исходя из распределения входной функции, то и сам квантованный сигнал будет полностью определён.

Распределение вероятности на выходе есть дискретная функция x, которая может быть представлена в форме последовательных ординат, центрированных относительно точек

Если взять характеристические функции для W(x) и P(x):

то можно получить характеристическую функцию: