Основные уравнения модели
1. Спрос на деньги зависит от уровня ВВП и номинальной ставки процента:
где λ – полуэластичность спроса на деньги по процентной ставке,
φ – эластичность спроса на деньги по доходу.
2. Агрегированный спрос на внутренний
выпуск зависит от соотношения
внутренних и внешних цен
(в логарифмах:
),
процентной ставки и реального дохода,
то есть
где
u – параметр сдвига,
pf = 0 - экзогенно заданный уровень цен за рубежом нормализован к единице (следовательно логарифм равен 0).
3. Динамика цен ( инфляция) зависит от дисбаланса спроса и предложения на рынке благ:
,
где
- чувствительность инфляции к избытку
спроса на рынке благ .
4. Дорнбуш построил свою модель с использованием так называемой регрессивной схемы ожиданий:
где
θ - скорости адаптации валютного курса к своему стационарному уровню
Применение регрессивной схемы правомерно тогда, когда модель будет предсказывать такую динамику валютного курса, которая будет совпадать с описанной схемой ожиданий. Кроме этого, модель должна иметь устойчивое решение относительно валютного курса, при отклонении от которого курс должен возвращаться на стационарный уровень. Данным свойством (ниже мы покажем это) модель Дорнбуша обладает.
Чаще, при рассмотрении модели Дорнбуша, считают, что ожидания формируются рациональным образом. Условие рациональности накладывает условие на коэффициент θ, который должен быть таким, чтобы фактический темп изменения валютного курса совпадал с ожидаемым.
Предполагается также, что агенты знают долгосрочный уровень валютного курса .
Идея модели Дорнбуша
В модели рассматриваются следующие рынки: рынок денег, рынок финансовых активов, рынок иностранной валюты, рынок благ. Первые три рынка формируют финансовый рынок экономики, который достаточно быстро уравновешивается за счет ставки процента и валютного курса. Поэтому краткосрочное равновесие экономики описывается в модели уравнением равновесия денежного рынка, из него же определяется текущий валютный курс экономики.
Рынок благ уравновешивается только в долгосрочном периоде, когда цены становятся абсолютно гибкими равновесия. Поэтому ситуация когда и товарный и денежный рынок находятся в состоянии равновесия интерпретируется как состояние долгосрочного равновесия экономик, которая и определяет долгосрочный стационарный валютный курс в модели Дорнбуша.
Решение модели
Равновесие на финансовом рынке
В модели Дорнбуша текущий валютный курс устанавливается исходя из условия равновесия на денежно-финансовом сегменте экономики. Рассмотрим процесс уравновешивания денежно-финансового сегмента подробнее.
Рынок денег
В краткосрочном периоде рынок денег уравновешивается за счет изменения цен финансовых активов, то есть процентной ставки i, так как уровень цен в краткосрочном периоде жесткий и скачков совершать не может. Изменение процентной ставки задается уравнением равновесия денежного рынка.
(24)
Финансово-валютный сегмент
Для случая полной мобильности равновесие и абсолютной взаимозаменяемости равновесие на обоих рынках: рынке финансовых активов и рынке валюты, будет определяться доходностью отечественных и иностранных активов, выраженные в единой валюте.
Так как риск в расчет не принимается, то в каждый момент в экономике выполняется непокрытый паритет процентных ставок:
(25)
,
где
-
ожидаемое изменение валютного курса.
В детерминистическом случае рациональные ожидания предполагают абсолютное предвидение, то есть ожидаемый и фактический темп обесценения валюты совпадают
(26)
где
,
- фактический темп обесценения
номинального валютного курса Подставляя
(26) в (25), получаем уравнение, описывающее
механизм приспособления
финансово-валютном сегмента к равновесному
состоянию
Если текущий валютный курс оказывается ниже некоторого равновесного уровня, то агенты неизбежно сформируют такие ожиданий роста валютного курса, что доходность иностранных бумаг будет больше доходности отечественных бумаг. Тогда агенты начнут продавать отечественные ценные бумаги и покупать иностранные, создавая избыточные спрос на рынке иностранной валюты, которые и поднимут валютный курс до уровня, уравновешивающего валютно-финансовый сегмент.
Подобные рассуждения показывают, что равновесие на финансовом сегменте наступает тогда, когда устанавливается такой валютный курс, который останавливает переток капитала, выравнивая доходности.
Стационарное состояние модели
Равновесный (долгосрочный) валютный курс в модели Дорнбуша устанавливается, когда и товарный, и денежный рынок приходят в состояние равновесия, при этом валютный курс и уровень цен в долгосрочном периоде достигают своего стационарного уровня и остаться неизменными.
Как показывает механизм приспособления финансового рынка, равновесие на финансово-валютном сегмента устанавливается, когда устанавливается равновесие денежного рынка
при выполнении паритета процентных ставок
,
Так как в
долгосрочном периоде валютный курс
должен, по определению, достигнуть
своего стационарного уровня и остаться
на нем, то есть в долгосрочном периоде
.
Следовательно,
в долгосрочном периоде доходность
отечественных ценных бумаг окажется
на мировом уровне, а уравнение равновесия
денежного рынка в стационарном состоянии
примет следующий вид
(27)
,
где
-
равновесный долгосрочный уровень цен.
Рынок благ придет в равновесное
состояние, когда в результате
гибкости цен
спрос на рынке благ будет равен
предложению, то есть когда
,
поскольку
Учитывая, функцию спроса на блага, можно (28) преобразовать к виду
Тогда в долгосрочном равновесии,
долгосрочный валютный курс (учитывая,
что долгосрочный равновесный уровень
цен
,
и в долгосрочном периоде
)
задается следующим уравнением
(29)
Таким образом, равновесное долгосрочное состояние экономики достигается, когда и , и находится из решения следующей системы уравнений
(30)
Из (30) можно выразить стационарный (долгосрочный) уровень цен
(31)
,
где λ – полуэластичность спроса на деньги по процентной ставке,
φ – эластичность спроса на деньги по доходу.
Поскольку в (31) все переменные, кроме уровня цен и денежной массы, являются экзогенными, то оно показывает, что при увеличении денежной массы на 1%, цены в долгосрочном периоде вырастут также на 1%. Это важное свойство денежного рынка: свойство асимптотической нейтральности денег.
Также из (30) можно выразить долгосрочный уровень валютного курса
(32)
,
где
λ – полуэластичность спроса на деньги по процентной ставке,
φ – эластичность спроса на деньги по доходу,
- чувствительность спроса на блага к отечественной ставке процента,
- чувствительность спроса на блага к относительной цене,
γ- чувствительность спроса на блага к доходу.
Поскольку в (32) все переменные, кроме валютного курса и денежной массы, являются экзогенными, то оно показывает, что при увеличении денежной массы на 1%, валютный курс в долгосрочном периоде вырастут также на 1%.
Графическая интерпретация стационарного состояния
Графическая интерпретация стационарного состояния экономики может быть задана через пересечение кривых задающих равновесие товарного и денежного рынка.
Кривая
равновесия денежного рынка,
задающая взаимосвязь текущего валютного
курса и уровня цен денежного рынка в
координатах
,
может быть получена подстановкой
уравнения (24), (32) в уравнение, задающее
схему построения ожиданий
(33)
где
λ – полуэластичность спроса на деньги по процентной ставке,
φ – эластичность спроса на деньги по доходу,
- чувствительность спроса на блага к отечественной ставке процента,
- чувствительность спроса на блага к относительной цене,
γ- чувствительность спроса на блага к доходу,
θ- коэффициент адаптации.
Графически
условие (33) характеризует кривую МM
(money
market), иллюстрирующую равновесие на
денежно-финансовом сегменте (краткосрочное
равновесие системы). Кривая ММ изображается
в координатах и
-
единственных в (33) эндогенных переменных
модели. Как видно из (33) кривая ММ в
координатах
имеет отрицательный наклон. Отрицательная
взаимосвязь обменного курса и уровня
цен при восстановлении равновесия
денежного рынка может быть объяснена
следующим образом:
.
Рис.2.
Если точка не лежит на ММ, то под действием внутренних сил экономика мгновенно попадает на кривую ММ посредством изменения валютного курса (вертикального скачка). Так в точке А (рис.2) валютный курс ниже равновесного, доходность иностранных активов будет больше доходности отечественных, агенты имея избыточные ожиданий будут покупать иностранную валюту для приобретения иностранных активов, что приведет к росту валютного курса.
Кривая равновесия денежного рынка сдвигается при изменении экзогенных параметров: изменение уровня денежной массы, уровня дохода, иностранной ставки процента и других экзогенных факторов.
Причем, согласно (33),
рост денежной массы приводит к сдвигу кривой ММ верх и вправо, так как
,
рост уровня дохода приводит к сдвигу ММ, который нельзя оценить однозначно , так как
,
то есть если
, то кривя ММ сдвинется вверх и вправо,
если
, то кривя ММ сдвинется вниз и влево,
рост иностранной ставки процента приводит к сдвигу ММ вверх и вправо, так как
.
Кривая равновесия товарного рынка GG, задающая взаимосвязь стационарного валютного курса и уровня цен в координатах , может быть получена подстановкой уравнения (24) в (32)
(34)
,
где
λ – полуэластичность спроса на деньги по процентной ставке,
φ – эластичность спроса на деньги по доходу,
- чувствительность спроса на блага к отечественной ставке процента,
- чувствительность спроса на блага к относительной цене,
γ- чувствительность спроса на блага к доходу,
θ- коэффициент адаптации.
Как мы
видим из (34) кривая GG
имеет положительный наклон, причем
тангенс угла наклона больше единицы.
Положительная взаимосвязь
обменного курса и уровня цен при
восстановлении равновесия товарного
рынка может быть объяснена следующим
образом:
.
Рис.4.
Из любой точки, не лежащей на кривой GG, система будет попадать на данную кривую за счет изменения уровня цен. Например, в точке С (рис.4) в экономике слишком низкий валютный курс, в результате чего спрос в экономике будет меньше предложения, и цены начнут падать. Падение цен на графике означает движение влево по горизонтали (красная стрелка на рисунке 4).
Кривая равновесия товарного рынка сдвигается при изменении экзогенных параметров: изменение уровня денежной массы, уровня дохода и других экзогенных факторов.
Причем, согласно (34),
рост денежной массы приводит к сдвигу GG вниз и вправо, так как
,
рост уровня дохода приводит к сдвигу GG, который нельзя оценить однозначно , так как
,
то есть
если
,
то при росте дохода кривая GG
сдвигается вниз и вправо,
если
,
то при росте дохода кривая GG
сдвигается вверх и влево.
Совместив графики равновесия товарного (рис.4) и денежного рынка (рис.3), мы получим в точке их пересечения стационарное состояние экономики, описываемой моделью Дорнбуша.
Рис.5.
Стационарное состояние, как мы видим на графике 5, будет меняться при сдвиге кривых ММ и GG.
При росте денежной массы стационарные уровни валютного курса и уровня цен будут расти, причем на одну и туже величину, так как из уравнений долгосрочного равновесного валютного курса
и долгосрочного равновесного уровня цен
,
видно,
что
.
При росте уровня дохода, стационарный уровень цен будет падать, так как
,
а изменение долгосрочное изменение валютного курса не может быть определено однозначно, так как
.
При росте иностранной ставки процента долгосрочный уровень цен растет, так как
и долгосрочный валютный курс растет, так как
.
Фазовая диаграмма
Проанализируем устойчивость стационарного состояния модели, используя фазовую диаграмму, для чего выразим динамику валютного курса через цены, и динамику цен через валютный курс.
Для этого выпишем из условия равновесия денежного рынка текущий уровень цен
,
а из (27) и равновесный уровень цен
.
Вычитая из первого уравнения второе, получаем искомую взаимосвязь
(35)
Это одно из ключевых уравнений модели. Оно показывает динамику валютного курса спот в терминах отклонения текущего уровня цен от его долгосрочного значения.
Для анализа влияния на динамику цен текущего валютного курса выпишем сначала уравнение неравновесной динамики товарного рынка
(36)
Поскольку процентная ставка всегда определяется равновесием денежного рынка, выразим из условия равновесия процентную ставку
и подставим ее в (36)
(37)
Воспользуемся далее тем, то когда товарный рынок находится в равновесии , то есть, согласно (37) в равновесии
(38)
Вычитая из (37) уравнение (38), получаем искомую взаимосвязь
(39)
Это также ключевое уравнение модели. Оно показывает динамику текущего уровня цен в терминах отклонения валютного курса спот от его долгосрочного значения.
Уравнения (35) и (39) задают динамику системы:
Проанализируем динамику экономики
с помощью фазовой диаграммы. Для этого
построим локусы
и
,
пересечение которых задает стационарное
равновесное состояние модели (
и
),
и посмотрим, какова будет динамика
системы вне равновесной точки.
Локус прямая линия, параллельная оси абсцисс при .
Локус можно получить из уравнения:
Этот локус – прямая линия с положительным наклоном меньше единицы:
Посмотрим, какая будет динамика цены в
точках лежащих ниже и выше локуса
.
Если точка лежит выше
,
то
,
следовательно
,
обменный курс растет, если точка лежит
ниже
,
то
,
следовательно
,
обменный курс падает (рис. ).
Проанализируем также поведение уровня
цен в точках лежащих выше и ниже линии
.
Если точка лежит выше
, то
,
следовательно
,
то есть цены будут падать, если точка
лежит ниже
, то
,
следовательно
,
то есть цены будут расти.
Совместив графики, получаем нужную нам для исследования динамики экономики, описываемой моделью Дорнбуша, фазовую диаграмму.
Как мы видим из фазовой диаграммы, экономика имеет седловой путь, то есть экономика может перейти в стационарное равновесное состояние только по седловому пути, в противном случае этого не произойдет.
Существование седлового пути можно показать более формально. Выпишем для системы уравнений
характеристические уравнения
(40)
,
где β определяет характеристические корни.