Примеры решения типовых задач

Задача 1. Первичная обработка экспериментальных данных

При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи – признак :

5, 3, 2, 1, 4, 6, 3, 7, 9, 1, 3, 2, 5, 6, 8, 2, 5, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 7, 4, 5, 7, 8, 6, 5, 7, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 6, 5, 4.

1. Составьте дискретный вариационный ряд частот признака.

2. Постройте полигон распределения частот.

3. Определите средний размер (среднее число членов) семьи.

4. Охарактеризуйте вариативность размера семьи с помощью показателей вариации (дисперсии, среднего квадратического отклонения).

Объясните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение

1) В данной задаче изучаемый признак является дискретным, так как размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Следовательно, нужно построить дискретный вариационный ряд.

Расположим значения признака в порядке возрастания и найдем, сколько раз встречаются те или иные значения признака – частоты . Получим дискретный вариационный ряд частот признака:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	2	4	6	8	10	9	6	4	1

2) Представим дискретный вариационный ряд графически, построив полигон частот.

1 0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3) Рассчитаем среднее число членов семьи в выборке по формуле выборочного среднего значения признака для сгруппированных данных. Получим:

.

Средний размер семьи в выборке около 5 человек.

4) Для расчета выборочной дисперсии используем формулу

.

Дисперсия числа членов семьи равна 3,7 .

Найдем среднее квадратическое отклонение числа членов семьи: . Среднее квадратическое отклонение размера семьи равно 1,9 чел.

Задача 2. Нахождение доверительного интервала для математического ожидания

Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Решение

Воспользуемся формулой доверительного интервала неизвестного математического ожидания .

В случае малой выборки ( )предельная ошибка выборки равна . Здесь находится по таблице распределения Стьюдента для степеней свободы и заданной доверительной вероятности .

В случае большой выборки ( ) предельная ошибка выборки равна . Здесь находится по таблице значений функции Лапласа из условия .

В нашей задаче объем выборки велик ( ), поэтому значение найдем по таблице значений нормированной функции Лапласа с учетом того, что . Находим по таблице значение аргумента , которому соответствует значение функции .

Получим доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 находится неизвестное математическое ожидание:

,

,

.

В интервал оцениваемое математическое ожидание попадает с заданной надежностью (вероятностью) 0,95.

Задача 3. Применение -критерия Стьюдента для двух независимых выборок

Преподаватель сопоставил изложение одной и той же темы в двух различных учебниках.

Работая в двух параллельных студенческих группах, он отобрал из них случайным образом две группы по 15 студентов в каждой и поручил им самостоятельно проработать эту тему: одной группе по первому учебнику, другой группе – по второму.

В конце эксперимента студентам был предложен тест на усвоение изученного материала. Результаты оценивались количеством правильных ответов (признак Х).

Были получены следующие данные:

в первой группе , , ;

во второй группе , , .

Значимы ли различия между средним количеством правильных ответов в группах?

Решение

Нулевую гипотезу : (о равенстве средних значений правильных ответов студентов) проверим на уровне значимости .

Альтернативная гипотеза : (о различии средних значений) задает двустороннюю критическую область.

Выборки независимы. Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, но выборочные дисперсии не равны между собой , то используем следующую формулу для эмпирического значения критерия :

.

Критические точки -распределения Стьюдента для двусторонней критической области найдем по таблице при уровне значимости и числе степеней свободы . Получим .

Значит, правая критическая точка , а левая критическая точка . Область допустимых значений двустороннего -критерия есть симметричный интервал .

Значение находится внутри области допустимых значений , поэтому нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве средних значений числа правильных ответов в группах.

Задача 4. Применение -критерия Стьюдента для двух зависимых выборок.

Группа школьников ( ) в течение летних каникул находилась в спортивном лагере. До и после сезона у них измерили жизненную емкость легких (признак ). До «эксперимента» ( , мл):

3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400, 3200, 3400.

После «эксперимента» ( , мл):

3800, 3700,3300, 3600, 3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600.

По результатам измерений нужно определить, значимо ли изменился этот показатель под влиянием интенсивных физических упражнений.

Решение

Вычислим средние значения жизненной емкости легких школьников до эксперимента

и после эксперимента

.

Как оказалось, средние значения двух зависимых выборок различаются. Определим, значимо ли это различие.

Нулевую гипотезу : (о равенстве средних значений жизненной емкости легких школьников) проверим на уровне значимости .

Альтернативная гипотеза : (о различии средних значений жизненной емкости легких школьников) задает двустороннюю критическую область.

Выбираем уровень значимости . Имеем две зависимые (связанные) выборки объема . Для удобства результаты вычислений проведем в таблице.

Таблица – Расчетная таблица критерия -Стьюдента для зависимых выборок

Номер школьника	Значения признака		Разности связанных пар результатов измерений	Квадраты отклонений
	до эксперимента ( )	после эксперимента ( )
1	3400	3800	- 400	1600
2	3600	3700	- 100	10000
3	3000	3300	- 300	90000
4	3500	3600	- 100	10000
5	2900	3100	- 200	40000
6	3100	3200	- 100	10000
7	3200	3200	0	0
8	3400	3300	100	10000
9	3200	3500	- 300	90000
10	3400	3600	- 200	40000
Сумма	32700	34300	- 1600	460000
Среднее				–

Найдем среднее арифметическое разностей :

.

Вычислим для разностей «исправленную» выборочную дисперсию (так как объем выборки меньше 30) по формуле , получим:

Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение и эмпирическое значение -критерия:

= .

Найдем по таблице критических значений Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .

Так как альтернативная гипотеза : , то критическая область двусторонняя. Строим ось значимости для -критерия Стьюдента, на которой отмечаем значение .

Критическая Критическая

область Область область

(различия значимы) допустимых (различия значимы)

значений

Значение попало в критическую область, поэтому показатели жизненной емкости легких школьников до и после спортивного лагеря значимо различаются с достоверностью 0,95.

Задача 5. Коэффициент корреляции.

В таблице приведен ряд, устанавливающий связь между уровнем интеллекта и уровнем средней успеваемости учащихся восьмого класса. Существует ли взаимосвязь между уровнем ( ) и средним уровнем успеваемости по математике ( )?

Таблица – Связь между уровнем и средним уровнем успеваемости по математике у школьников десятого класса

- уровень	75	85	90	100	105	110	110	115	115	120	125	130	140
- средняя успеваемость	3,1	3,1	3,5	3,7	3,8	4,0	4,2	4,3	4,6	4,7	4,8	4,9	5,0