Расчет температурных полей в затвердевающей отливке

Цель работы – ознакомиться с методами решения задач о нестационарной теплопроводности и принципами построения программы расчета температурных полей в затвердевающей отливке методом сеток. Получить практические навыки работы с программой TEMPOL.

Теоретическая часть

Одной из важнейших задач проектирования технологии получения отливки является определение температурных полей в затвердевающей отливке. Для этого необходимо рассматривать сложные теплофизические модели.

Методы решения задач теплопроводности относятся к разряду аналитических методов, позволяющих найти решение непосредственно из дифференциального уравнения в виде формулы, раскрыв которую можно для каждого значения аргумента получить значение искомой функции. К сожалению, при исследовании реальных процессов получить аналитическое решение очень трудно. Как правило, это удается сделать лишь для тел простой формы и при исследовании линейных задач.

Нелинейные задачи, как правило, не удается решить аналитическим методом даже в простейших одномерных случаях. В этой ситуации обычно применяют численные методы, позволяющие во всех случаях решить краевую задачу теплопроводности с определенной точностью и степенью достоверности. Этот способ необходим при решении тех задач, для которых аналитические методы не применимы.

Из всех численных методов наиболее широкое распространение для решения краевых задач теплопроводности получил метод конечных разностей (метод сеток) [7]. Это объясняется, в первую очередь, версальностью метода (он применим как для линейных, так и для не линейных задач с различными видами граничных условий, для различных форм тела) и его высокой алгоритмичностью, что открывает возможности для использования современных ЭВМ. Метод сеток не требует задания аналитических выражений для уравнений границ тела, краевых условий, коэффициентов теплопереноса и т.п., дает возможность в математической формулировке задачи максимально отразить специфику протекания реального процесса, так как практически не налагает ограничений на условия задачи.

Идея метода конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным множеством точек (узлов) – расчетной сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки – сеточные функции. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями, представляющими собой линейную комбинацию значений сеточной функции в нескольких узлах.

В результате краевая задача в частных производных сводится к системе алгебраических уравнений относительно значений сеточных функций в узлах. Если решение полученной системы дифференциальных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению исходной дифференциальной задачи, то это решение и является искомым приближенным решением краевой задачи.

Основные понятия метода сеток. Применению метода сеток и решению дифференциальных краевых задач предшествует дискретизация расчетной области, то есть выбор разностной сетки. Расположение узлов сетки может быть произвольным и определяется спецификой решаемой задачи. Например, в случае одномерной задачи в области  = 0  x  l можно ввести сетку, разбив отрезок 0, l  на N равных частей точками x_i = i h, i = 0, 1,…, N. Расстояние между узлами x _i+1 – x _i = h называется шагом сетки. В данном случае h = l / N = const, поэтому множество точек x _i, i = 0, 1, …, N, представляет собой равномерную сетку и обозначается  _h = (x _i = i h, i = 0, 1 ,…, N,).Такая сетка представлена на рис.12.

Рис.12 Равномерная сетка

Аналогичным образом может быть построена разностная сетка на плоскости для прямоугольной области  = 0 x  a; 0  y  b. Для этого разобьем отрезки 0,а и 0,b соответственно на М и N равных частей. Через точки x _i, i = 0, 1,…,M; j = 0, 1,…,N, проведем прямые, параллельные осям координат (рис.13). В результате получим множество точек (x_i, y_j), образующих сетку в прямоугольнике. В данном случае шаги сетки по каждой из переменных постоянны (h = a / M, p = l /N) и полученная сетка является равномерной. Если хотя бы по одной из переменных шаг неравномерен, сетку называют неравномерной.

По аналогии с разностной сеткой для пространственных областей вводится сетка по временной переменной .

Например, для решения одномерной по пространству нестационарной задачи в области  = 0  x  l , 0     _k вводится сетка

_h = _h  _ = (x _k,  _i ), x _{k+ 1} = x _k + h _k,

 _{i + 1} =  _i + , k = 0,1,…, N; i = 0, 1,…, M.

x₀ = 0, x_N = l, ₀ = 0, _M = _k,

которая называется пространственно-временной разностной сеткой (рис.14).

Совокупность узлов, лежащих на линии  = _i, называют i-м временным слоем.

Рис.13 Прямоугольная Рис. 14 Пространственно-

равномерная сетка временная сетка

Для обозначений сеточной функции на i-м и (i + 1)-м временных слоях используют обозначения

Наиболее важными вопросами, возникающими при решении задач методом сеток, являются аппроксимация, сходимость и устойчивость используемой разностной схемы. При этом под разностной схемой понимается форма записи разностных уравнений и дополнительных условий, то есть разностного аналога системы уравнений, описывающих процесс.

При замене некоторого оператора краевой задачи, заданного на множестве непрерывного аргумента, разностным оператором А_h, заданным на множестве сеточных функций, естественно, допускается погрешность, которую называют погрешностью аппроксимации.

Если погрешность аппроксимации стремится к нулю при любом законе стремления шагов к нулю, то такая аппроксимация называется абсолютной, или безусловной. В противном случае аппроксимация называется условной.

Схема называется устойчивой, если ошибки округления, неизбежные при всяком счете, при измельчении сетки не возрастают. Иными словами, схема устойчива, если решение непрерывно зависит от выходных данных (правых частей уравнения, краевых условий) при уменьшении шагов разностной сетки.

Очень важным вопросом при решении краевых задач методом сеток является построение разностной схемы. Существует много способов получения разностных аналогов дифференциальных операторов: метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями, метод интегральных тождеств (интегро - интерполяционный метод), метод неопределенных коэффициентов, вариационные методы построения разностных схем и проч.

Выбор метода построения разностной схемы определяется, в первую очередь, требованием получения такого разностного аналога дифференциальной краевой задачи, который обеспечивал бы даже на грубых сетках необходимый уровень точности для получаемого приближенного решения. Поэтому разностные аналоги должны сохранять важнейшие свойства исходных дифференциальных уравнений.

Краевые задачи, описывающие процессы переноса, являются следствием основных законов сохранения субстанции (теплоты, энергии, массы и проч.). Поэтому естественно потребовать, чтобы и для построенной разностной схемы выполнялись законы сохранения. Такие разностные схемы называются консервативными. Схемы, в которых нарушаются законы сохранения, называются неконсервативными.

Одним из наиболее эффективных методов построения схем является интегро - интерполяционный. Рассмотрим этот метод.

Напомним, что разностная схема для дифференциального уравнения содержит значения сеточной функции в нескольких соседних узлах, образующих определенную конфигурацию. Такая совокупность узлов называется шаблоном. Например, шаблоны могут иметь вид, показанный на рис.15.

Рис. 15 Разностные шаблоны

Суть интегро - интерполяционного метода состоит в следующем. После выбора шаблона область изменения независимых переменных разбивается на элементарные ячейки, связанные с шаблоном. Затем исходное дифференциальное уравнение интегрирует по ячейке и приходит с помощью формул векторного анализа к интегральным соотношениям, выражающим закон сохранения энергии для этой элементарной ячейке. Интегралы и производные, входящие в соотношения, заменяются затем разностными соотношениями так, чтобы не нарушались законы сохранения. Поскольку разностные соотношения могут быть взяты не единственным образом, можно получить различные разностные схемы.

Рис.16 Разностный шаблон 2

В качестве примера рассмотрим уравнение нестационарной теплопроводности с переменной теплопроводностью

На шаблоне, изображенном на рис.16, выберем ячейку ( x_k-1/2  x  x_k+1/2 , _i    _i+1 ), показанную штриховой линией, и составим уравнение теплового баланса для этой ячейки:

Используя формулу Грина 7, вычислив приближенно интегралы и

заменяя в правой части уравнения плотности тепловых потоков разностями, получим разностную аппроксимацию уравнения:

Половинные индексы означают, что значение коэффициента теплопроводности вычислено в полуцелых точках или как полусумма значений теплопроводности в соответствующих целых узлах.

Отметим, что последнее уравнение может быть применено в случае, когда коэффициент теплопроводности является непрерывной функцией, а также к задачам с разрывными .