Довжина дуги, як параметр. Елементи тригранника Френе
Нехай
-
регулярна крива,
.
За означенням кривої в диференціальній
геометрії будь – яка її точка має окіл,
який є простою дугою, тому можна
обчислювати довжину дуги деякого околу
деякої точки кривої. Якщо зафіксувати
деяку точку 
,
що відповідає параметру цього околу
(
),
попадає в цей окіл, а параметр
залишається змінним, то отримаємо
функцію:
,
значення
якого є довжина дуги кривої, що відповідає
відрізку параметра 
,
при цьому 
,
оскільки крива регулярна, то
0, тоді за теоремою про обернену функцію
з математичного аналізу ми знаємо, що
існує обернена функція для функції 
,
це буде функція
,
і знову з теореми про обернену функцію
отримаємо, що:
= 
= 
(1).
Тоді для будь – якої точки в деякому її околі можна зробити зміну параметра, яка для вектор функції цієї кривої буде виглядати наступним чином:
= 
.
і 
аналітично вже різні функції, які задають
одну і ту ж криву, коли ми перейшли до
такого параметру, то зміна такого
параметру на 
відповідає
зміні довжини кривої також на 
.
Означення
Параметризація кривої називається натуральною, якщо зміна параметру на відповідає зміні довжини кривої також на .
Таким чином ми довели наступну теорему:
Теорема (про натуральну параметризацію)
Будь
– яку регулярну криву можна привести
до натурального параметру, у якості
такого параметру ми беремо саму довжину
дуги кривої і з допомогою оберненої
функції
до функції 
здійснюємо
заміну параметра , здійснюємо приведення
вектор – функції кривої до натурального
пераметра:
= .
Але треба зауважити , що таке перетворення можна робити тільки в деякому околі будь – якої точки кривої , у тому околі, який є простою дугою.
Оскільки нас буде цікавити поведінка кривої в деякому околі її точок, то ми можемо вважати, що регулярну криву завжди можна привести до натурального параметру.
Теорема 2
Якщо крива приведена до натурального параметру, то довжина похідної її вектор – функції є сталою і дорівнює 1.
Доведення
Нехай
приведення до натурального параметру
здійснене за допомогою функції
тоді
вектор – функція має вигляд:
Диференціюємо
по 
:
’
=
’(t)
(
)’
= за
формулою (1) = 
.
Таким
чином, довжина похідної 
= 1.
Теорему доведено.
У диференціальній геометрії для позначення похідних вектор – функції при натуральній параметризації кривої прийняті позначення:
’
= 
,
’’
= 
,
… , 
= 
.
Усі раніше доведені результати з теорії кривих не залежали від параметризації, тому вони дійсні і при натуральній параметризації кривої.
Елементи тригранника Френе
Нехай
-
регулярна крива, що приведена до
натурального параметру, 
.
Введемо позначення:
= 
.
Як було доведено раніше 
= 1, тобто ця вектор – функція має сталу
довжину, а якщо вектор – функція має
сталу довжину, то похідна до неї
ортогональна, тобто 
.
Позначимо:
= 
(S)
– одиничний
вектор, тоді 
= 1,
(S)
.
З
теми про стичну площину ми знаємо, що
стична площина визначається (для
фіксованої точки) вектором 
)
=
і
=
.
А
оскільки
(S)
,
то стична площина повністю визначається
векторами
(S)
.
Оскільки
(S)
,
то
(S)
є вектором нормалі, це значить, що він
ортогональний до напрявляючого вектора
дотичної.
Означення
Нормаль кривої, що лежить на стичній площині (це перетин нормальної і стичної площини) називається головною нормаллю.
є направляючий вектор головної нормалі.
Означення
Нормаль, що є ортогональною до стичної площини, називається бінормаллю.
Оскільки
вектори
(S)
лежать на стичній площині, то 
(S)
= 
є
ортогональний до стичної площини і
його можна взяти у якості направляючого
вектора бінормалі, крім того, оскільки
(S)
,
= 1,
то з означення векторного добутку
випливає, що |
(S)|
= 1.
Таким
чином, у кожній точці кривої, що відповідає
значенню натурального параметра S,
визначено три одиничних, взаємно
ортогональних вектора: 
– направляючий вектор дотичної; 
- направляючий вектор головної нормалі
і
(S)
– направляючий вектор бінормалі.
Звичайно,
що для окремого значення параметра S
ці вектори можуть змінюватись, тобто
(S),
- це вектор – функції, що задовольняють
вказаним вище властивостям. Крім того,
ці вектори визначають прямі: 
b
– бінормаль.
У
свою чергу ці прямі визначають три
площини: (
)
– стична площина – це площина, на якій
лежать прямі
;
(
)
– нормальна площина – це площина, на
якій лежать прямі 
і
b;
(
)
спрямна
площина – це площина, на якій лежать
прямі 
.
Розглянуті прямі можна вважати вісями
декартової системи координат, початок
якої співпадає з точкою кривої, що
відповідає значенню параметра
.
Базис
цієї системи координат утворюють
вектори: 
(S)
(вони одиничні та ортогональні).
Згадані площини утворюють координатні площини цієї системи координат, ці площини утворюють тригранник, який прийнято називати тригранником Френе, а введені прямі і площини називаються його елементами, вектори (S) називаються базисом Френе цієї системи координат, цю систему координат називають локальною системою, що визначається відповідною точкою кривої. Введення такої системи координат є дуже зручним для вивчення локальних властивостей кривих, тобто тих властивостей, що визначають будову кривої у деяких околах її точок.