Стичне коло. Еволюта і евольвента плоскої кривої

Нехай - регулярна крива.

Означення

Коло називається стичним кривої в т. , якщо у цій точці крива і коло мають степінь дотику не менше 2.

Піднесемо криву до натурального параметру , , – радіус – вектор центра стичного кола кривої в т. , – радіус стичного кола.

Записуючи неявне рівняння кола у векторній формі і підставляючи в нього параметричне рівняння кривої у вигляді вектор – функції , отримаємо функцію: .

Таким чином, за твердженням 2 попереднього параграфу повинні виконуватись рівності:

= 0, = 0, = 0.

– параметричне рівняння кривої.

– координати центра кола.

Якщо розписати за формулою скалярного добутку через координати векторів, то маємо:

, а ця формула отримається після підстановки у неявну формулу кола параметричного рівняння кривої.

Обчислюємо першу похідну:

= 0,

( ) = 0 випливає, що (t) ( ).

Тобто, центр стичного кола лежить на перпендикулярі до дотичної. Оскільки вектор – функція віднесена до натурального параметра, отримане рівняння можна записати наступним чином:

( ) = 0.

Диференціюємо тепер першу похідну:

( (S), ) + ( ( )) = 0.

( ) = /

Оскільки степінь дотику стичного кола не менше 2, то маємо наступне рівняння:

( (S), ) + ( ) = 0.

За формулою Френе для плоскої кривої, маємо:

) + 1 = 0,

) + 1 = 0 (*).

Оскільки , то вектори колінеарні, але протилежно напрямлені, тому, оскільки | | = 1, маємо:

( = - | | = - – радіус кола.

Тоді з рівняння (*) випливає, що - + 1 = 0. З цього слідує, що .

Таким чином, радіус стичного кола .

Означення

Радіус називають радіусом кривини кривої, що відповідає значенню параметра .

Означимо векторне рівняння еволюти наступним чином:

= + (1).

Твердження 1

Дотична до еволюти кривої є колінеарною до нормалі цієї кривої.

Доведення

Про диференціюємо рівність (1):

(S) = (S) + = + (S) + = { (S) = - k(S) } = + = .

Оскільки (S) – направляючий вектор дотичної еволюти, а - направляючий вектор нормалі кривої, то з останньої отриманої рівності випливає, що дотична еволюти є паралельною до нормалі кривої.

Оскільки кривина кривої визначена при будь – якій параметризації кривої, а геометричне положення вектор – функції кривої від параметризації не залежить, то можна знайти рівняння еволюти при довільній параметризації кривої.

Знайдемо параметричне рівняння еволюти кривої, яка задана своїм параметричним рівнянням:

Точки еволюти, що відповідають точкам кривої зі значенням параметра , лежать на нормалі до відповідної точки на відстані від кривої.

Нормаль – це пряма, ортогональна до дотичної, оскільки – направляючий вектор дотичної, то - направляючий вектор нормалі, тому, що скалярний добуток цих векторів дорівнює 0.

А вектор (2) ( ) – це вектор нормалі, довжина якого 1.

При довільній параметризації кривина обчислюється за формулою (для плоскої кривої):

.

Тому точки еволюти лежать на нормалі на відстані, що додається наступною формулою:

.

Помноживши цей скалярний добуток на одиничний вектор нормалі (2) і додаючи отриманий вектор до вектор – функції кривої, отримаємо рівняння еволюти при довільній параметризації:

Нагадаємо, що якщо - регулярна крива, то крива є еволютою і називається евольвентою кривої . Віднесемо криву до натурального параметру , отримаємо криву , евольвенту якої позначимо ( . Оскільки еволюта кривої ( , то за попереднім твердженням, дотична з направляючим одиничним вектором є нормаллю кривої , звідки випливає, що нормаль кривої колінеарною до дотичної кривої ( . Крім того, якщо , то її вектор – функцію її евольвенти можна записати наступним чином:

(3) де - деяка скалярна функція.

Про диференціюємо рівність (3):

(S) = + - за першою формулою Френе.

Але як відмічалося раніше (S) , тому з рівності (3) випливає, що = (C - ), де C = const.

Оскільки то

При довільній параметризації вектор – функція евольвенти має наступний вигляд:

(4) - одиничний вектор дотичної, що відповідає параметру , - довжина шляху по кривій до точки, що відповідає значенню параметру .

Звідки випливає, що:

(5).

Якщо ж крива задана своїм параметричним рівнянням:

То з формули (5) отримуємо параметричне рівняння евольвенти. Розглянемо наступним чином:

.

Твердження 1 доведено.