Випадок плоскої кривої
Як
було доведено раніше, для плоскої кривої
скрут 
для плоскої кривої фігурує кривина
= 
.
Формули Френе:
Натуральне рівняння плоскої кривої:
,
.
Нехай
- плоска крива з натуральним рівнянням
,
.
Знайдемо параметричне рівняння кривої
.
Введемо декартову систему координат
наступним чином:
0,
= 0, 
- одиничний вектор осі 
.
.
За означенням кривини:
= 
,
звідки випливає, що 
= 
(9).
Оскільки
|
|=
1,
для 
,
то
= (
),
а
оскільки
(S)
=
,
то
де
= (
).
Підставляючи в останню систему (9), маємо:
З цього випливає, що:
Дотикання кривих. Степінь дотикання кривих
Нехай
і
- регулярні криві, що віднесені до
натурального параметру,
і 
- вектор – функції. Кажуть, що криві
і
у т. М, що відповідає
,
мають степінь дотику 
,
якщо 
= 
.
(
)
= 
(
),
(
)
= 
,
… ,
Критерії степені дотику плоских кривих
Твердження 1
Нехай
і
- плоскі криві, що задані явними функціями
.
Криві
і 
мають степінь дотику
тоді та тільки тоді, коли:
Доведення
Нехай
-
функція, що здійснює перехід до
натурального параметру 
.
Нам достатньо довести, що перші
– похідних функцій 
і 
виражаються через перші
– похідних функції 
,
тоді співпадання перших
– похідних функцій
і
випливає з співпадання перших
– похідних функцій 
),
і навпаки, а степінь дотику
,
якраз, і означає спів падання перших
- похідних за параметром
.
Дійсно,
(*)
Через
перші дві похідні функції
і
.
Диференціюючи
по
останню рівність, можна виразити 
(x)
через перші 3 похідні функцій
і 
й
процес, виразимо перші
- похідних функцій
і 
похідні
функції
.
Вектор – функція кривої
має вигляд
.
- функція, що здійснює перехід до
натурального параметру, при цьому:
(див.
).
І вектор – функція кривої віднесена до натурального параметру, має вигляд:
.
(**)
(S)
= 
’(
)
= 
’(
),
де
|
’(
)|
= 
.
Розписуючи останню рівність покоординатно, отримаємо:
= (
).
Виразимо похідну по через (*) і (**):
‘(
)
+ 
‘’(
)
= 
‘(
)
+ 
‘’(
).
Розписуючи
цю рівність покоординатно, знаходимо
вирази для 
через 
,
знов диференціюємо останню рівність
по
і знаходимо вираз 
через перші три похідні функції
.
Продовжуючи цей процес, знаходимо вирази
перших
- похідних функцій
і
перші
– похідні функції
.
Твердження 1 доведено.
Твердження 2
Нехай і - криві на площині, при чому крива задана параметричним рівнянням:
,
.
Криві
і
тоді
і тільки тоді мають степінь дотику
у т. 
,
коли 
)
= 0, 
)
= 0,
… ,
Доведення
Оскільки
крива
- регулярна, то хоча б одна з похідних
0.
Будемо вважати, що 
0,
тоді за теоремою про зворотню функцію
існує функція 
в деякому околі 
і криву
можна задати явною функцією 
Далі будемо вважати, що крива
задана явною функцією 
а
функція 
= 
.
Оскільки
крива 
(
)
0.
Будемо вважати, що 
(
)
0,
тоді за теоремою про задання регулярної
кривої різними аналітичними методами,
криву
можна задати явною функцією
:
в
деякому околі т. 
.
При чому, оскільки рівняння
і 
,
задають одну і ту ж криву
,
то має місце тотожність: 
= 0, тоді 
-
= {за теоремою Лиувиля}
(
)(
)),
де 
.
(
).
Розкладемо
функції 
)
у ряд Тейлора у деякому околі т. 
:
=
(
)
(*)
= 
= 
= 0.
= 0.
Перейдемо
в (*) до границі, коли 
тоді
,
.
=
(
)
Останнє
співвідношення можливе в випадку, якщо
в чисельнику стоїть стільки ж перших
нульових похідних функції 
,
скільки в знаменнику стоїть однакових
похідних функцій
).
Оскільки
в іншому випадку границя цього дробу
дорівнює 0 або 
.
За попереднім твердженням співпадіння
перших
похідних функції
)
означає, що криві
і
в т.
мають степінь дотику не менше
,
звідки випливає твердження.
Твердження 2 доведено.