Вступ
Диференціальна геометрія – це частина математики, яка вивчає геометричні образи, в першу чергу криві і поверхні, а також сімейства кривих і поверхонь методами аналізу безкінечно малих. Характерним для диференціальної геометрії являється те, що вона вивчає властивості кривих і поверхонь в «малому», тобто як завгодно малих кусків кривих і поверхонь.
Крива являється одним із основних об’єктів, які розглядаються в диференціальній геометрії. В геометрії існує досить багато різних означень кривої. Одним з найбільш загальних означень є поняття кривої Жордана.
Кривою
в диференціальній геометрії будемо
називати жорданову криву, задану на
інтервалі 
,
якщо кожна точка цього інтервалу має
деякий окіл, на якому ця крива є простою.
Поняття кривої в диференціальній геометрії
В геометрії існує досить багато різних означень кривої. Одним з найбільш загальних означень є поняття кривої Жордана.
Нехай
-деякий
інтервал числової прямої, який може
бути скінченним або нескінченним,
замкнутим, відкритим або напіввідкритим.
Будь-яке неперервне відображення 
інтервала
в
евклідів точений простір 
називається жордановою кривою, заданою
на інтервалі
.
Образ
інтервалу 
називається
носієм кривої 
Зазвичай
зручно ототожнювати криву
з її носієм.
Нехай
-метричні
простори.
Бієктивне
відображення 
називається
взаємно неперервним, якщо воно неперервне
і зворотнє до нього відображення також
є неперервним.
Нехай
і
деяка жорданова крива. Нехай
інтервал такого самого типу, як
.
Нехай 
деяке взаємно неперервне відображення
.
Тоді відображення 
задає нову параметризацію кривої 
і 
мають
один и той же носій. Таким чином,
геометричні властивості кривої залежать
від параметризації цієї кривої, але
формули, що описують ці властивості
дуже залежать від параметризації кривої,
і при вдалій параметризації дуже
спрощуються.
Нехай
і 
(
)
-
дві жорданові криві, що задані на
інтервалах
та 
однакового типу.
Означення
Криві
і
(
)
називаються еквівалентними, якщо існує
взаємно неперервне відображення
таке що:
=
(
).
Таким чином, сукупність усіх жорданових кривих розпадається на класи еквівалентних кривих. Очевидно, що еквівалентні криві мають однаковий носій.
Клас еквівалентних кривих ще називають не параметризованою жордановою кривою.
Відмітимо, що властивості жорданової кривої мають дуже відрізнятися від інтуїтивного уявлення про криві у просторі. Наприклад, носій жорданової кривої може мати внутрішні точки.
Означення
Щоб уникнути цих складнощів вводять поняття простої кривої.
Нехай
-деякий
інтервал. Неперервне бієктивне
відображення 
:
називається простою кривою заданою на
інтервалі
,
якщо зворотнє до нього відображення
(t):
також є неперервним.
Зазвичай просту криву ототожнюють з її носієм .Але не усякі криві у просторі, які ми інтуїтивно вважаємо кривими є простими.
Наприклад:
Ця крива не є простою, бо не може бути задана бієктивним відображенням.
Щоб уникнути цих складнощів вводять наступне поняття:
Означення
Кривою
в диференціальній геометрії будемо
називати жорданову криву, задану на
інтервалі
,
якщо кожна точка цього інтервалу має
деякий окіл, на якому ця крива є простою,
тобто відображення
:
-
неперервне і таке, що 
-
проста крива.
Існує більш конструктивний підхід до означення кривої в диференціальній геометрії.
Нехай
-
проста крива, що задана на відрізку 
,
точки 
називаються кінцевими точками простої
кривої
.
Означення
Кривою називається підмножина з , яка складається з скінченної або зчисленної кількості простих кривих з загальними кінцевими точками
Вектор-функція кривої. Регулярні криві
Нехай
-деякий
інтервал,
:
-крива.
Введемо у простір
декартову систему координат: О - початок,
,…,
–
базис.
Кожному значенню параметра 
відповідає
т.
,
а кожній такій точці відповідає вектор
з початком в т.О і кінцем в т.
Таким чином, отримали вектор-функцію
=
,
(1),
яка задана
на інтервалі 
вектор-функцією
кривої
.
Якщо
ж задана неперервна вектор-функція 
,
то їй відповідає жорданова крива в
просторі
,
яку описують кінці векторів
,
якщо їх відкладати від фіксованої т.О.
Цю криву називаємо годографом
вектор-функції
.
Таким чином, якщо у точечному евклідовому просторі введена декартова система координат, то з кожною кривою у цьому просторі пов’язана вектор-функція . І в зворотньому порядку з кожною вектор-функцією пов’язана за допомогою годографа деяка крива
Таким
чином, будь-яка крива в просторі
однозначно задається своєю вектор-функцією
,
.
Якщо вектор-функція має на множині неперервну похідну, то вона називається гладкою.
Якщо ж ця функція має неперервну похідну n-го порядку, то кажуть, що крива має клас гладкості n.
Точка
називається
особливою, якщо 
(
)=
.
Якщо ж
(
)
,
то точка
називається регулярною.
Означення
Якщо
вектор-функція
кривої 
немає особливих точок, то така крива
називається регулярною.
Надалі будемо розглядати тільки регулярні криві. Якщо регулярна крива має неперервну похідну n-го порядку, то кажуть, що ця крива має клас регулярності n.