§12 Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что

.

(1)

Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть

при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке

Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □

Пусть функция определена на множестве . Далее вместо символов и , служащих для обозначения точных верхней и нижней граней множества значений функции на множестве часто будем использовать символы

и , соответственно. Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е.существуют такие точки ,что

, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что

.

Тогда, очевидно, функция

будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что

Следовательно

,

а это противоречит тому, что □ Замечание 1. Теорема 2 по сути гласит, что во множестве значений непрерывной на отрезке функции имеется наибольший и наименьший элементы. Они, соответственно, называются наибольшим и наименьшим значениями функции, при этом точки и , в которых функция принимает эти значения, называются, соответственно точкой максимума и точкой минимума функции на отрезке . Теорему 2, таким образом, можно рассматривать как теорему о существовании точек максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и

С учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, из второй теоремы Вейерштрасса вытекает такое

Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .

§12А. Непрерывность и разрывы монотонных функций.

n⁰1. Точки разрыва монотонных функций.

Теорема 1 (о существовании односторонних пределов монотонной функции). Пусть функция монотонна на интервале . Тогда в каждой точке существуют конечные, односторонние пределы

,

причем

а) если функция не убывает на интервале , то

,

(1)

б) если же функция не возрастает на нем, то

.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности функция не убывает на интервале . Тогда при множество ее значений ограничено сверху:

Пусть

≜

Из предыдущего неравенства следует, что

(3)

Так как каждую точку можно представить в виде

при некотором , то по определению точной верхней грани :

,

а поскольку функция – неубывающая, то при имеем

.

В силу произвольности это означает, что и . Поэтому в силу (3)

.

Аналогично устанавливается, что и

□

Следствие. Если функция – монотонна на интервале , то каждая точка является либо точкой непрерывности функции , либо точкой ее разрыва 1-го рода, и, следовательно, монотонная функция не может иметь точек разрыва 2-го рода.

Теорема 2 (о мощности множества точек разрыва монотонной функции). Множество точек разрыва монотонной на интервале функции не более чем счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть – неубывающая на интервале функция. Пусть – некоторая точка разрыва функции . Тогда одно из неравенств (1) строгое и, следовательно,

Так как между любыми двумя различными вещественными числами лежит хотя бы одно рациональное число, то отсюда следует, что найдется такое рациональное число , что

.

Таким образом, каждой точке разрыва может быть поставлено в соответствие некоторое рациональное число.

Если и – две точки разрыва функции на интервале , а и – соответствующие им рациональные числа:

,

,

то в силу того, что при для неубывающей функции по теореме 1 будем иметь

и, следовательно,

.

т.е. различным точкам разрыва поставлены в соответствие различные рациональные числа. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек разрыва функции и некоторым подмножеством множества рациональных чисел. А поскольку всякое подмножество множества рациональных чисел не более чем счетно, то не более чем счетно и множество точек разрыва функции □

n⁰2. Непрерывность монотонных функций.

Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы имеет место в силу следствия из второй теоремы Вейерштрасса. Поэтому нужно доказать лишь достаточность условия теоремы.

Пусть функция – монотонна и . Предположим, тем не менее, что она не является непрерывной на отрезке . Для определенности будем считать, что функция – неубывающая.

Пусть – точка разрыва функции . Тогда, либо

,

(4)

либо

.

(5)

В первом из этих случаев, в силу того, что функция – неубывающая, имеем

при

и

при .

Поэтому в случае (4) функция не принимает значений из интервала

,

но принимает значения как слева от него, так и справа. Аналогично устанавливается, что в случае (5) функция не принимает значений из интервала

,

но принимает значения как слева от него, так и справа. В обоих случаях множество значений функции не может быть отрезком. Полученное противоречие и доказывает теорему □

Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть функция возрастает на отрезке . В этом случае множество ее значений является отрезком .Тогда, очевидно, она, как отображение

является взаимно-однозначным отображением «на» и, следовательно, имеет обратную функцию . Покажем, что она возрастающая.

Предположим противное. Тогда найдутся такие , , что . Но в этом случае , т.е. , а это противоречит тому, что .

Наконец, поскольку множество значений монотонной функции является отрезком, то по теореме 3 она непрерывна на отрезке □

Очевидно, справедливо следующее обобщение теоремы 4.

Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке .