
- •Глава 2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •§1. Понятие предела числовой функции.
- •§2. Критерий Коши существования предела функции.
- •§ 2А. Локальные свойства функций, имеющих предел.
- •§ 2Б. Предел суперпозиции. Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел
- •§2.2Б. Теорема о пределе суперпозиции
- •§ 3. Односторонние пределы
- •§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности
- •§5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •§6. Символы «о» и «о». Эквивалентные при функции.
- •§8. Понятие непрерывной функции
- •§9. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
- •§10. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •§11. Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •§12 Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
- •§12А. Непрерывность и разрывы монотонных функций.
- •§1. Производная и ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала и его геометрический и физический смысл.
- •§3. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •§4. Дифференцирование сложной функции.
- •§5. Дифференцирование обратной функции.
- •§6. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •§7. Дифференцирование элементарных функций.
- •§8.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •§9.Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.
- •§10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •§11 Формула Тейлора.
§9. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
Определение
1. Пусть функция
определена на множестве
и
.
Если функция
непрерывна в точке
,
то она называется точкой непрерывности
функции
.
В противном случае, точка
называется точкой разрыва функции
.
Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества .
Замечание
2. Если
– точка разрыва функции
,
то либо предел
не существует, либо он существует, но
.
Определение 2. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.
Замечание 4. Если точка – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке
.
Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.
В следующих двух
определениях предполагается, что точка
принадлежит области определения функции
вместе с некоторой своей окрестностью
.
Определение
3. Пусть
– точка разрыва функции
.
Если оба односторонних предела
и
существуют и конечны, то она называется
точкой разрыва 1-го рода
Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
Замечание 3. Иными словами точка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.
Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.
Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:
является
разрывной в каждой точке
.
Действительно, для любой последовательности
рациональных чисел
,
сходящейся к точке
,
имеем
,
а для любой последовательности
иррациональных чисел
,
,
в свою очередь, имеем
.
Следовательно, ни в одной точке
не существует предел
и, следовательно каждая точка
– точка разрыва функции Дирихле. Более
того, нетрудно видеть, что ни в одной
точке
не существуют оба односторонних придела
и
,
так как описанные выше последовательности
и
,
с одной стороны, можно выбрать так, что
,
а с другой стороны, можно выбрать и так,
что
.
Таким образом, каждая точка
– точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.
Пример
2. Функция
«сигнум
»
очевидно,
разрывна в точке
,
причем эта точка – точка разрыва 1-го
рода.
Пример
3. Функция
разрывна в точке
,
которая, очевидно, является точкой
устранимого разрыва.
§10. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
Определение
1. Функция
называется
равномерно непрерывной на множестве
,
если для любого
такое, что
,
удовлетворяющих неравенству
|
(1) |
имеет место неравенство
|
(2) |
Замечание
1. Очевидно,
если функция
равномерно непрерывна на множестве
,
то она и непрерывна на нем, т.е. непрерывна
в каждой точке этого множества. Как
показывает приводимый ниже пример,
обратное утверждение, вообще говоря,
неверно, т.е. из непрерывности функции
на множестве
,
вообще говоря, не следует, что она
равномерно непрерывна на этом множестве.
Пример 1. Функция
непрерывна
на множестве
.
Покажем, что она не является равномерно
непрерывной на нем. Предположим противное,
т.е. что она все же является равномерно
непрерывной на множестве
.
Тогда
такое, что при
|
(3) |
будет справедливо неравенство
|
(4) |
Пусть
.
Тогда условия (3) выполнены и, следовательно,
имеет место неравенство (4). Это неравенство,
в частности показывает, что при
фиксированном
,
функция
ограничена
на интервале
.
Но это противоречит тому, что
.
Таким образом, непрерывная на множестве
функция
не является равномерно непрерывной на
этом множестве.
Замечание
2. Отличие
понятия равномерно непрерывной на
множестве
функции от понятия непрерывной на нем
функции состоит в том, что если функция
– непрерывна на множестве
,
то для каждой точки
и для каждого
существует свое, т.е. зависящее и от
,
и от точки
число
,
которое для всех
,
удовлетворяющих неравенству
|
(5) |
гарантирует выполнение неравенства
|
(6) |
Если же функция – равномерно непрерывна на множестве , то для каждого независимо от выбора точки существует зависящее только от выбранного число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5), гарантирует выполнение неравенства (6).
Следующая теорема указывает тот важный, частный случай, когда из непрерывности функции на множестве следует также и ее равномерная непрерывность на том же множестве.
Теорема
1 (Кантора).
Непрерывная
на отрезке
функция
равномерно непрерывна на этом отрезке.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Предположим
противное. Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
но не является равномерно непрерывной
на нем. Тогда существует такое
,
что для любого
найдутся такие точки
,
,
что
Рассмотрим
последовательность
.
Тогда, в соответствии со сказанным выше,
для любого
найдутся такие
,
что наряду с неравенством
|
(7) |
имеет место и неравенство
|
(8) |
Так
как
,
то последовательность
ограничена. Тогда по теореме
Больцано-Вейерштрасса из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность
.
Пусть
.
Очевидно
.
Рассмотрим последовательность
и покажем, что
.
Действительно, в силу неравенства (7) и
определения подпоследовательности
имеем
и, следовательно,
.
Поэтому в силу того, что
и
,
по принципу двух милиционеров имеем .
Так
как функция
непрерывна на отрезке
,
и, стало быть – и в точке
,
а
и ,
то
и
.
Учитывая теперь, что из неравенства (8) вытекает неравенство
,
и переходя в последнем неравенстве к
пределу при
,
получим
,
что противоречит выбору
□
Колебанием функции на отрезке называется величина
.
Нетрудно убедиться, что
|
(9) |
С учетом равенств (9) легко доказать, что справедлива следующая
Теорема
2. Для
того, чтобы функция
была равномерно непрерывной на отрезке
необходимо и достаточно, чтобы для
любого
существовало такое
,
что для любого отрезка
длиной меньшей
колебание
функции
на этом отрезке было меньше
,
т.е.
.
Еще один критерий равномерной непрерывности можно сформулировать в терминах так называемого модуля непрерывности функции : модулем непрерывности функции , определенной на множестве называется определенная при функция
.
Теорема 3.
Для того, чтобы функция
была равномерно непрерывной на множестве
,
необходимо и достаточно, чтобы ее модуль
непрерывности на этом множестве стремился
к нулю при
,
т.е.