§6. Символы «о» и «о». Эквивалентные при функции.

Пусть функции и определены на множестве и – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности точки функция отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .

Определения: 1. Если

,

то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут

при .

2. Если функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут

при .

3. Говорят, что функции и одного порядка при , если

и при .

4. Говорят, что функции и асимптотически равны при , если

.

Замечания: 1. Как следует из определений 1 и 2, соответственно, запись (при ) означает, что функция – бесконечно малая при , а запись (при ) означает, что функция ограничена в окрестности точки .

2. Если при , то в силу теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей (конечный) предел, тем более при .

Упражнение 1. Покажите, что (функции и – функции одного порядка) ⇔ ( , - окрестность точки , что при ).

Определения: 5. Пусть и – бесконечно малые при функции. Функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если при .

6. Если бесконечно малые при функции и асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при , при этом пишут ~ ( ).

Теорема 1. Пусть и при . Тогда

[ ~ ( )] ⇔ [ ≜ при ]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость (⇒). Так как ~ ( ), то

,

т.е. при .

Достаточность (⇐). Поскольку при , то

,

т.е. ~ ( ) □

Теорема 2. Пусть и – бесконечно малые при функции, причем ~ , а ~ при . Тогда если

,

то и

.

Замечание 3. Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку

и по условию

,

,

,

то по теореме о пределе частного имеем

□

По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.

Определения: 7. Пусть и – бесконечно большие при функции. Функция называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией , если – бесконечно большая при функция, т.е. если при .

8. Если бесконечно большие при функции и асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .

Замечание 4. Теоремы 1 и 2 при надлежащих изменениях сохраняют свою силу для бесконечно больших функций.

Определение 9. Пусть и – бесконечно малые (бесконечно большие) при функции. Если и функции и одного порядка при (здесь ), то говорят, что – бесконечно малая (бесконечно большая) порядка по сравнению .

Определение 10. Пусть и – бесконечно малые (бесконечно большие) при функции. Если и ~ при , то говорят, что функция (при сравнении с ) имеет главную часть