§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности

Определения. 1. Окрестностью точки в называется всякое множество , которое содержит некоторую -окрестность этой точки.

2. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

3. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

4. Пусть и –окрестность этой точки (в ). Тогда множество

называется проколотой окрестностью точки .

5. Точка называется точкой сгущения множества , если для любой окрестности этой точки

.

Теперь естественным образом можно расширить понятие предела для случая, когда обе или одна из точек и являются бесконечными точками расширенной числовой оси . Соответствующее определение почти дословно повторяет определение 2” из §1.

Определение 6. Пусть – точка сгущения множества и функция определена на множестве . Конечное или бесконечное число (точка) называется пределом функции при (или в точке ), если для любой окрестности точки (в ) существует такая окрестность точки (в ), что

.

Замечание 1. Для различных типов точек и определение 5 можно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. Например, равенство означает, что такое, что .

Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что означает

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ( ),

Д) ( ),

Е) ( ),

Ж) ( ).

Замечание 2. Если существуют пределы функции как при , так и при , причем

,

то пишут

.

§5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и - его точка сгущения. Функция называется бесконечно малой при если .

Упражнения. 1. Покажите, что - бесконечно малая функция при .

2. Докажите, что функция - бесконечно малая при в том и только том случае, если функция - бесконечно малая при .

Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.

Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций есть бесконечно малая при функция.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки функции является бесконечно малой при функцией.

Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция ограничена на множестве , где – некоторая окрестность точки , которая является точкой сгущения множества (это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции ).

С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).

Определение 2. Пусть – точка сгущения множества . Функция называется бесконечно большой при , если .

Теорема 3 (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть - точка сгущения множества и на (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда

1. если – бесконечно малая при функция, то – бесконечно большая при функция;

2. если же – бесконечно большая при функция, то – бесконечно малая при функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное и положим . Так как , то найдется такая окрестность точки , что

и, следовательно, . В силу произвольности это и означает, что – бесконечно большая при функция.

2) Возьмем произвольное и положим . Поскольку , то найдется такая окрестность точки , что

,

Поэтому , т.е. то – бесконечно малая при функция □