§ 2Б. Предел суперпозиции. Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел
|
(2) |
.
Пусть, кроме
того, функция
определена на множестве
,
–
точка сгущения множества
и существует предел.
|
(3) |
.
Тогда, если
,
то на множестве
имеет смысл суперпозиция
и существует предел.
|
(4) |
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Выберем произвольную окрестность
точки
.
Тогда, в силу равенства (3), найдется
окрестность
точки
такая, что
|
(5) |
В свою очередь, в
силу равенства (2), для окрестности
точки
найдется такая окрестность
точки
,
что
,
а так как
и по условию
,
то отсюда следует, что
|
(6) |
.Из включений (5) и (6) следует, что
.
Таким образом, для
произвольно выбранной окрестности
точки
нашлась окрестность
точки
такая, что
.
По определению предела это и означает,
что имеет место равенство (4) □
§2.2Б. Теорема о пределе суперпозиции
Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел
. |
(2) |
Пусть, кроме того, функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел.
. |
(3) |
Тогда, если , то на множестве имеет смысл суперпозиция и существует предел.
. |
(4) |
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Выберем произвольную окрестность
точки
.
Тогда, в силу равенства (3), найдется
окрестность
точки
такая, что
|
(5) |
В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности точки найдется такая окрестность точки , что
,
а так как
и по условию
,
то отсюда следует, что
|
(6) |
.Из включений (5) и (6) следует, что
.
Таким образом, для
произвольно выбранной окрестности
точки
нашлась такая окрестность
точки
,
что
.
По определению предела это и означает,
что имеет место равенство (4) □
§ 3. Односторонние пределы
Пусть - точка сгущения множества . Тогда она является точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств
и
Вместе с тем, точкой сгущения обоих этих множеств, одновременно, она может и не быть, так как одно из них может быть, например, пустым.
Пусть
.
Положим
и
.
Определение 1.
Пусть
- точка сгущения множества
(соотв.,
).
Если существует предел
(соотв.,
),
то он называется левосторонним
(соотв., правосторонним) пределом
функции
в точке
,
или также пределом функции
при
слева (соотв., при
справа).
В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «обычный» предел функции при называется иногда двусторонним.
Левосторонний предел функции в точке обозначается обычно одним из символов
или
,
а правосторонний, соответственно, – одним из символов
или
..
Замечание 1. Поскольку односторонние пределы являются в то же время и обычными пределами, то для них справедливы все теоремы, которые устанавливаются для обычных двусторонних пределов.
Теорема 1.
Пусть
,
и
– точка сгущения
каждого из множеств
и
.
Тогда, если существуют равные между
собой односторонние пределы
и
,
то существует и равный им двусторонний
предел
= = .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что пересечение любых двух окрестностей точки является окрестностью этой точки.
Пусть
= =
и - произвольная окрестность точки .
По определению
имеем:
- окрестность точки точки
такая, что
|
(1) |
Аналогично, по
определению
имеем:
- окрестность точки
такая, что
|
(2) |
Рассмотрим теперь
следующую окрестность точки
:
.
Очевидно,
и
.
Следовательно,
,
и, кроме того, ясно, что
.
Поэтому из (1) и (2) следует, что
В силу произвольности выбранной окрестности точки , это и означает, что □