§2. Критерий Коши существования предела функции.

Теорема (критерий Коши). Пусть функция определена на множестве и точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел

(7)

необходимо и достаточно, чтобы

.

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует предел (7) и для определенности пусть . Выберем произвольное . Тогда найдется такое , что для любых , удовлетворяющих неравенствам и справедливы неравенства

и .

Поскольку , то тогда при тех же справедливо и неравенство (8). Необходимость доказана.

Достаточность. Покажем сначала, что для любой последовательности , последовательность – фундаментальная и, следовательно, она имеет предел. Выберем произвольную последовательность и произвольное . По условию такое, что справедливо неравенство (8). Зафиксируем это . Тогда в силу того, что и найдется такой номер , что при

.

Таким образом, при , но тогда по выбору имеем

.

В силу произвольности выбранного это и означает, что последовательность – фундаментальная.

Покажем теперь, что для любой последовательности предел один и тот же. Тогда в силу определения предела функции по Гейне это и будет означать, что существует предел (7). Предположим противное, т.е. пусть имеются две последовательности и ( ), которые сходятся к точке и , , причем . Рассмотрим последовательность

.

Очевидно, она сходится к точке , при этом все ее точки принадлежат множеству и отличны от точки . Тогда по доказанному выше последовательность

сходится и, следовательно, любые ее подпоследовательности имеют один и тот же предел, а это противоречит тому, что , и □

§ 2А. Локальные свойства функций, имеющих предел.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и – некоторое его подмножество ( ). Говорят, что функция ограничена на множестве , если его образ есть ограниченное множество.

Замечание 1. Аналогично вводятся понятия ограниченности функции на множестве сверху и снизу.

Замечание 2. Ограниченность функции на множестве очевидно означает, что .

Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пусть функция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует предел , то в некоторой окрестности точки функция является ограниченной. Точнее, существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и Тогда по определению предела для найдется такая окрестность точки , что

А так как

,

то

Следовательно функция ограничена на множестве , а тогда она, очевидно, ограничена и на множестве □

Ниже знак числа обозначается через .

Теорема 2 (о стабилизации знака). Пусть функция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки функция имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность точки , что

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности .

Тогда - некоторая окрестность точки . По определению предела существует такая окрестность точки , что , а по выбору окрестности это означает, что , и, следовательно, имеет место равенство (1) □