§11 Формула Тейлора.
n.1. Формула Тейлора для многочлена.
Рассмотрим некоторый многочлен степени
с вещественными коэффициентами:
|
|
|
Зададим
произвольное вещественное число
и в правой части равенства (1) представим
в виде
:
Раскрыв
здесь квадратные скобки и приведя
подобные члены при одинаковых степенях
,
в результате получим разложение
многочлена (1) по степеням
:
|
(2) |
,
где
- постоянные, зависящие от исходных
коэффициентов и от числа
.
При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Полагая
в каждом из этих равенств
получим
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Если
кроме того положить
в (2), то считая, как обычно,
и
будем также иметь
Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы
,
|
(3) |
В итоге заключаем, что разложение (2) можно записать в виде (4):
|
(4) |
Формула
(4) называется формулой Тейлора по
степеням
для многочлена
степени
.
Из вывода этой формулы следует, что
разложение многочлена по степеням
является единственным, так как коэффициенты
любого такого разложения однозначно
определяются по формулам (3).
Формулу Тейлора по степеням для многочлена , то есть формулу
называют также формулой Маклорена.
n.2. Локальная формула Тейлора.
Пусть функция раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность точки , в которой определена сама функция и существуют конечные производные
при
этом в точке
существует также конечная производная
.
Поэтому, в частности, определен многочлен
,
называемый ( -ым) многочленом Тейлора функции в точке .
Положим
Тогда
Эта формула или, в более явном виде, формула
|
(1) |
называется
формулой
Тейлора
функции в точке
,
а функция
- остаточным
членом формулы Тейлора.
Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде
(при
|
(2) |
)Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу
|
(3) |
называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.
Лемма 1. Пусть функция раз дифференцируема в точке и
|
(4) |
.Тогда
|
(5) |
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение леммы по индукции.
При
в силу дифференцируемости функции
в точке
имеем
А так как по условию (4)
,
то это означает, что
таким образом, при утверждение леммы справедливо.
Предположим,
что оно справедливо при
,
и покажем, что тогда оно справедливо и
при
.
Действительно,
поскольку
,
то функция
имеет в некоторой окрестности
производную
,
и по условию (4) (для
)
Тогда по индукционному предположению
|
(6) |
Далее,
так как функция
раз дифференцируема в точке
и
,
то для любой точки
из окрестности
,
в которой существует конечные производные
,
Имеет место и формула конечных приращений Лагранжа
|
(7) |
,
где
точка
лежит между точками
и
.
(Рекомендуется проверить, что на отрезке
с концами в точках
и
функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Лагранжа).
Поскольку
по условию
,
то из формул (6) и (7) следует, что
Полагая здесь
будем иметь
Поэтому равенство (5) при будет доказано, если будет показано, что
|
(8) |
Действительно, так как точка лежит между точками и , то
|
(9) |
и, следовательно,
|
(10) |
Остаётся
заметить, что в силу (8)
при
и, значит,
Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8)
Теорема 1. Если функция раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция
Удовлетворяет условиям леммы 1
Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция имеет в точке конечные производные до порядка включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).
nо3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши и в форме Лагранжа.
Теорема
2. Пусть
на отрезке
с концами в точках
и
функция
и все ее производные до порядка
включительно являются непрерывными
функциями, а во внутренних точках этого
отрезка существует конечная производная
.
Тогда, для любой непрерывной на этом
отрезке функции
,
дифференцируемой во внутренних точках
этого отрезка и имеющей в каждой из этих
точек отличную от нуля производную,
существует точка
,
лежащая между точками
и
,
такая, что остаточный член в формуле
Тейлора может быть записан в виде
|
(1) |
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке
с концами в точках
и
рассмотрим функцию переменной
:
,
где
.
Из
условий теоремы и определения функции
следует, что она непрерывна на отрезке
и дифференцируема во внутренних точках
этого отрезка. По условию теоремы функция
обладает теми же свойствами.
Таким
образом, функции
и
на отрезке I
удовлетворяют всем условиям теоремы
Коши о среднем значении для дифференцируемых
функций.
По этой теореме между точками и найдется такая точка , что
|
(2) |
Поскольку
|
(3) |
,то нетрудно видеть, что
|
(4) |
.
К тому же, как следует из (3),
|
(5) |
и
|
(6) |
Из формулы (2), (4) – (6) имеем
В
свою очередь отсюда, с учетом того, что
по условию теоремы
( - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1).
Следствие.
Если на отрезке с концами в точках
и
функция
и все ее производные до порядка
включительно являются непрерывными
функциями, а во внутренних точках этого
отрезка существует конечная производная
,
то остаточный член в формуле Тейлора
|
(7) |
может быть записан, как в форме Коши:
|
(8) |
,так и в форме Лагранжа:
|
(9) |
(здесь лежит между точками и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить
В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить
Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции можно записать как в виде
|
(10) |
(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа),
так и в виде
|
(11) |
(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши).
nо4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.
Если
,
то формула Тейлора функции
имеет особенно простой вид:
|
(1) |
В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид
,
,
и
Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
.
Пусть
.
Эта функция имеет производные любого
порядка и в любой точке
(в таких случаях говорят, что функция
бесконечно
дифференцируема
).
Как известно
Поэтому
формула Маклорена функции
имеет вид (
):
где остаточный член можно записать в любой из форм:
(
в форме Пеано)
(
в форме Лагранжа)
и
(в
форме Коши),
где
точка
в каждой из двух последних формул лежит
между точками
и
.
.
Пусть
.
Так как эта функция бесконечно
дифференцируема на всей вещественной
оси и
,
то
;
и, следовательно,
При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид:
,
соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:
|
(2) |
а остаточный член в форме Коши имеет вид:
|
(3) |
Замечание
1. Для
доказательства, например, равенства
(2) достаточно заметить, что остаточный
член
в форме Лагранжа в общем случае имеет
вид:
а затем убедиться в том, что для функции имеют место равенства
.
Пусть
.
Эта функция также бесконечно дифференцируема
.
Поскольку здесь
,
то
Поэтому имеем,
при этом остаточный член имеет вид:
( в форме Пеано);
(
в форме
Лагранжа);
( в форме Коши).
Приведем без доказательства еще несколько разложений по формуле Маклорена:
.
.
.
