§10. Производные и дифференциалы высших порядков.
Понятие производной
порядка
.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
и дифференцируема в этой окрестности,
т.е. дифференцируема в каждой точке
.
Тогда в окрестности
определена новая функция
,
которая, называется производной функции
на множестве
.
Если функция
имеет в точке
производную, то ее называют второй
производной функции
в этой точке и обозначают одним из
символов
при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.
.
Вместе с тем, если функция дифференцируема в точке , то говорят, что функция дважды дифференцируема в этой точке.
Аналогично понятию
второй производной функции
в точке
вводится понятие третьей производной
(ее обозначают также
или
)
и, вообще производной любого порядка
.
Точнее, общее определение производной
порядка
вводится индуктивно. А именно, если
функция
имеет в каждой точке
конечную производную
,
то производная функции
в точке
называется производной
-го
порядка функции
в точке
и обозначают одним из символов
.
Таким образом,
Наконец, мы будем
говорить, что функция
раз дифференцируема в точке
,
если в некоторой окрестности этой точки
она имеет конечную производную
порядка
(а стало быть имеет и все производные
,
,…,
)
и функция
дифференцируема в точке
.
В соответствии с данным выше определением производную функции в точке называют также первой производной функции в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке . В дальнейшем условимся считать, что
.
Непосредственно из определения производной -го порядка вытекают следующие ее свойства:
(
)
,
где и – раз дифференцируемые в точке функции.
Отметим без доказательства, что если функции и – раз дифференцируемы в точке , то имеет место следующая формула (формула Лейбница):
Механический
смысл второй производной. Если
кинематический закон движения материальной
точки вдоль некоторой кривой, т.е. если
– путь, пройденный ей вдоль этой кривой
к моменту времени
из некоторой начальной точки, то, как
известно, первая производная
,
если она существует, представляет собой
мгновенную скорость точки в момент
времени
.
Вместе с тем отношение
называют средним
ускорением точки за отрезок времени
,
а предел (если он существует)
называют ускорением точки в момент времени .
Таким образом
вторая производная
– ускорение точки в момент времени
.
Понятие
дифференциала порядка
.
Пусть функция
раз дифференцируема в точке
(в соответствии с данным выше определением
это означает, напомним, что в некоторой
окрестности этой точки она имеет конечные
производные до порядка
включительно, а в самой точке
имеет и конечную производную порядка
).
Тогда степенная функция
переменной
называется дифференциалом функции
в точке
порядка
и обозначается
или
(короче также пишут
или
).
Таким образом,
для дифференциала порядка
функции
в точке
имеем формулу
|
(1) |
,При этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.
На практике
вычисление дифференциалов высших
порядков можно проводить по правилам,
которые описываются. Предварительно
условимся под арифметическим выражением
понимать выражение, полученное из
конечного набора функций переменной
в результате следующих действий:
сложения, умножения и вычисления
дифференциала. Тогда вычисление
дифференциалов высших порядков можно
производить последовательно используя
следующую формулу (при
,
и т.д.)
|
(2) |
,а также правила
1)
,
2)
,
3)
,
где
и
–арифметические выражения.
Пример
1. Найдем
для
.
Имеем
,
……….