§5. Дифференцирование обратной функции.
Прежне
всего напомним, что всякая строго
монотонная функция
имеет обратную
,
которая строго монотонна в том же смысле,
что и “прямая” функция. При этом обратная
функция будет непрерывной на промежутке
,
если прямая строго монотонная функция
непрерывна на промежутке
.
Теорема.
Пусть функция
строго монотонна и непрерывна в
окрестности
точки
.
Пусть, кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
.
Тогда обратная к ней функция
дифференцируема в точке
,
причем
|
(1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел
Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел
|
(2) |
Рассмотрим функцию
|
(3) |
.
В
силу строгой монотонности функции
она определена в проколотой окрестности
точки
.
В точке
функция
имеет конечный предел (2). Поэтому если
доопределить ее в этой точке равенством
,
то
она будет непрерывной в этой точке.
Тогда учитывая, что функция
непрерывна в точке
(как обратная к непрерывной, строго
монотонной функции
),
по теореме о непрерывности суперпозиции
заключаем, что сложная функция
будет непрерывной в той же точке
и, следовательно,
|
(4) |
Поскольку
в некоторой проколотой окрестности
точки
в силу равенства (3) имеет место равенство
,
и предел функции в данной точке не зависит от того, как она определена в этой точке, то из (4) следует, что функция дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □
§6. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Пусть
на интервале
заданы функции
-
(1)
и
-
(2)
.
Предположим, что функция
строго монотонна на
.
Тогда она имеет обратную функцию
,
которая является строго монотонной на промежутке . Рассмотрим функцию
-
,(3)
называемую
функцией, заданной параметрически
уравнением (1) и (2). При этом, отметим,
параметром называют переменную
функций
и
.
Теорема.
Пусть
функции
и
определены на интервале
и дифференцируемы в точке
,
причем функция
строго монотонна на
и
.
Тогда функция
,
заданная параметрически уравнениями
(1) и (2), дифференцируема
в точке
и
-
(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируемость функции в точке имеет место в силу теоремы о дифференцируемости обратной функции и теоремы о дифференцируемости сложной функции. Из тех же теорем вытекает и формула (4). Действительно, по теореме о дифференцируемости сложной функции
-
,(5)
а по теореме о дифференцируемости обратной функции
|
(6) |
Из (5) и (6) имеем (4)
§7. Дифференцирование элементарных функций.
nо 1. Таблица производных
Элементарные
функции ( за исключением функций
и
)
дифференцируемы в своих областях
определения, причем справедливы следующие
формулы (они обосновываются в следующих
пунктах):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Определим так называемые гиперболические функции:
-
гиперболический синус;
-
гиперболический косинус;
-
гиперболический тангенс;
-
гиперболический котангенс.
Для гиперболических функций справедливы следующие формулы:
.
.
.
.
nо 2. Показательная и логарифмическая функции.
Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, вычислим некоторые пределы.
Покажем, что
|
(1) |
Как было установлено ранее
.
Поэтому,
доопределив функцию f(x)
=
в точке
равенством
можно считать, что она непрерывна в этой
точке. Учитывая это, а также то, что
функция
непрерывна в точке
,
по теореме о непрерывности суперпозиции
непрерывных функций будем иметь
.
Следовательно, равенство (1) действительно имеет место.
Покажем теперь, что
|
(2) |
Доопределим
функцию
в точке
равенством
.
В силу равенства (1) можно считать, что
она непрерывна в этой точке. Положим
.
Эта функция непрерывна на всей вещественной
оси и, в частности, непрерывна в точке
,
при этом
.
Тогда по теореме о непрерывности
суперпозиции непрерывных функций
сложная функция
непрерывна в точке
.
Поэтому будем иметь
.
Таким образом равенство (2) доказано.
Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:
=
Таким
образом установлена формула
.
Далее, так как функция
является обратной к функции
,
по формуле для производной обратной
функции имеем:
=
.
Следовательно, установлена и формула .
Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.
где
и
– дифференцируемые на некотором
промежутке
функции, причем
на
.
Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь
Таким образом,
.
В
частности, если здесь
,
а
,
то
,
т.е. установлена и формула . Формула вытекает из нее в силу формулы дифференцирования обратной функции:
(здесь
,
).
nо 3. Производная степенной функции.
Производную
от степенной функции
(
)
можно вычислить с помощью формулы
дифференцирования сложной функции,
предварительно представив функцию
в виде
:
Формула , таким образом, также доказана.
nо 4. Тригонометрические функции.
Используя формулу
,
а также известный замечательный предел
,
по
определению производной с учетом
непрерывности функции
будем
иметь
Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим
Производные
от функции
и
вычисляются с использованием установленных
выше формул
и
и формул дифференцирования частного.
Читателю предлагается сделать это
самостоятельно.
nо 5. Обратные тригонометрические функции.
Формулы
выводятся с помощью формулы для
производной обратной функции и одной
из соответствующих
.
Например, функция
Является
обратной к функции
,
(
).
Поэтому
Перед
радикалом здесь берется знак «+»,
поскольку
при
.
Аналогично
вычисляется производная от функции
Далее,
функция
является обратной к функции
.
Поэтому
Аналогично
вычисляется производная от функции
