§3. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
Теорема.
Пусть функции
и
определены в окрестности точки
и дифференцируемы в этой точке. Тогда
в этой точке дифференцируема и каждая
из функций
,
,
и
(при
),
причем
|
(1) |
,
|
(2) |
,
|
(3) |
,
|
(4) |
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о: 1.
Дифференцируемость
функции
и равенство
(1) очевидно
будут установлены, если будут установлены
дифференцируемость функции
и равенство (3). В последнем случае
достаточно будет рассмотреть функцию
.
2.
Дифференцируемость
функции
и равенство
(2) вытекают из того, что имеют место
равенства
и
из того, что по условию существуют
конечные пределы
и
,
при этом следует помнить, что дифференцируемость функции в точке равносильна существованию конечной ее производной в этой точке.
3. Дифференцируемость произведения функций и равенство (3).
Пусть
.
Тогда
,
и, следовательно,
.
|
(5) |
В силу дифференцируемости функций и в точке , существуют конечные пределы
,
и
|
(6) |
Поэтому из (5) следует, что существует конечный предел
|
(7) |
,
т.е.
функция
дифференцируема в точке
.
Переходя в равенстве (5) к пределу при
с учетом равенств (6) и (7) получим равенство
(3).
4.
Дифференцируемость
и равенство
(4). Положим
.
По крайней мере, в некоторой окрестности
точки
,
это определение корректно, так как
и функция
непрерывна в точке
.
Далее, имеем:
,
и, следовательно,
.
Рассуждая
теперь аналогично пункту 3 данного
доказательства, убеждаемся, что функция
дифференцируема в точке
,
а переходя здесь к пределу при
получим также и равенство (4). □
Замечание
(о формулах для дифференциалов, вытекающих
из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал
функции
в точке
находится по
правилу
из формул (1)–(4) , умножая каждую из них
на
,
получим следующие формулы для
дифференциалов:
(здесь
);
;
;
.
§4. Дифференцирование сложной функции.
Напомним, что суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией.
Теорема.
Пусть
функция
определена на интервале
,
а функция
определена на интервале
,
причем
.
Тогда если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и
|
(1) |
Д
о к а з а т е л ь с т в о. В силу
дифференцируемости функций
и
,
соответственно, в точках
и
,
имеем
|
(2) |
и
|
(3) |
Как известно
|
(4) |
,
где
- бесконечно малая при
,
причем без ущерба для общности можно
считать, что
,
то есть можно считать, что функция
непрерывна в точке
.
Из (3) и (4) следует, что
Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим
и, следовательно,
|
(5) |
Поскольку
функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
и
,
то по теореме о непрерывности сложной
функции
.
А так как, кроме того,
то из (5) следует, что существует конечная производная
и
имеет место равенство (1). Для завершения
доказательства теоремы остается
вспомнить, что существование конечной
производной
равносильно дифференцируемости функции
в точке
.
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала
|
(6) |
И, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь
или
|
(7) |
Считая
точку
произвольной (то есть заменяя
на произвольное
).
Равенства (6) и (7) записывают в виде
|
(6) |
|
(7) |
Эти
формулы показывают, что формально вид
дифференциала не меняется как при записи
его через независимую переменную
,
так и при записи через зависимую
переменную . В этом состоит, так называемое,
свойство инвариантности
дифференциала, который называют также
первым
дифференциалом.