Глава 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

§1. Понятие предела числовой функции.

Напомним, что числовой функцией или функцией одной (вещественной) переменной называется отображение , область определения которой есть числовое множество, т.е. .

Пусть и – окрестность точки (т.е. – такое числовое множество, которое содержит некоторую -окрестность ( )точки ). Множество далее будем называть проколотой окрестностью точки .

Определение 1. Точка называется точкой сгущения или предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка этого множества, т.е. для любой окрестности точки

.

Определение 2 (предела функции по Коши). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам:

(1)

имеет место неравенство

(2)

Если число является пределом функции в точке , то пишут

, или , или .

Замечание 3. Определение предела по Коши часто называют определением предела на языке . На языке окрестностей оно, очевидно, может быть переформулировано следующим образом:

Определение 2^’. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что

(т.е. ).

В свою очередь, нетрудно видеть, что это определение равносильно следующему определению.

Определение 2”. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что

.

Определение 3 (предела по Гейне). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой последовательности последовательность сходится и

.

(3)

Замечание 4. Последнее определение называют также определением предела функции на языке последовательностей.

Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что если число является пределом функции при в смысле одного из определений 2 и 3, то оно является также и ее пределом в точке (точке сгущения множества ) и в смысле другого из этих определений.

Пусть

(в смысле Коши)

(4)

Выберем произвольную последовательность

и произвольное . В силу условия (4) и определения 2 найдется такое, что для любого , удовлетворяющего неравенствам (1) имеет место и неравенство (2). В свою очередь, поскольку , то для этого найдется такой номер , что

,

а так как по условию и , то по определению 2

.

(5)

В силу произвольности это и означает, что имеет место равенство (3), т.е.

(в смысле Гейне)

(6)

Обратно, пусть имеет место равенство (6). Докажем, что тогда имеет место и равенство (4). Предположим противное. Тогда :

.

Зафиксируем это . Для него, в частности, :

,

при этом очевидно, что . Таким образом, нашлась последовательность такая, что

(7)

Однако, для той же последовательности и того же в силу условия (6), определения 3 и определения предела числовой последовательности найдется такой номер , что будет иметь место и неравенство (5), противоречащее неравенству (7). Следовательно (6)⇒(4) □

Следующие теоремы, с учетом определения предела функции по Гейне являются прямыми следствиями аналогичных теорем о пределе последовательности.

Теорема 2. Если функция имеет предел в точке , где – точка сгущения множества , то этот предел единственный.

Теорема 3 (об арифметических свойствах предела функции). Пусть функции и определены на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существуют пределы

и ,

то существуют и пределы

, , ,

(последний при дополнительном предположении, что и ),

причем

а) ,

б) (теорема о пределе суммы и разности),

в) (теорема о пределе произведения),

г) (теорема о пределе частного).

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют пределы и , то

.

Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пусть функции , и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют равные между собой пределы

и ,

то существует и равный им предел

,

т.е.

.