Вопрос 11. Построение аддитивной и мультипликативной моделей временных рядов

Модели, в которых временной ряд пред­ставлен как сумма трех перечисленных компонент - аддитивные модели вида:

Y = T + S + E,

Модели, в которых временной ряд пред­ставлен как произведение - мультипликативные модели вида:

Y = T S E.

Выбор одной из двух моделей производят на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е) или в мульти­пликативной (Т·Е) модели.

4) аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т·Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T·S);

6) расчет абсолютных или относительных ошибок.

Вопрос 12. Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии трендовой и сезонной составляющих значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Ее можно измерить с помощью коэффициента автокорреляции уровней ряда, т.е. между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Число периодов, по которым рассчитывают коэффициент автокорреляции, называется лагом.

С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка (он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t –1 , т.е., при лаге, равном единице.

Переменные у – это составляющие временного ряда.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка

Коэффициенты автокорреляции более высоких порядков определяют аналогично.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции) — коррелограммой.

При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый временной ряд содержит только трендовую составляющую.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, ряд содержит сезонные циклические колебания с периодичностью t моментов времени.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда:

– либо ряд не содержит трендовую и сезонную составляющие и имеет структуру, сходную со структурой ряда на рисунке 1, в (где изображена случайная (Е) компонента),

– либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.