Вопрос 23. Решение игр с природой по различным критериям

Игры с природой – это модель (в игровой форме) ситуации, в которой один из участников безразличен к результату игры. Фактически, любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. «природа» – это совокупность неопреде­ленных факторов, внешних обстоятельств, влияющих на эффективность решений, принимае­мых сознательным игроком. «природа», будучи безразличной, к исходу игры может реализовывать такие состояния, которые ей совершенно невыгодны, поэтому в играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком велика.

Будем предполагать, что в игре с природой сознательный игрок А может использовать чистых стратегий , а природа П может реализовывать различных состояний . Игроку А могут быть известны вероятности , с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их.

В играх с природой решение в чистых стратегиях достаточно найти только для игрока А, поскольку природа наши рекомендации воспринять не может.

При выборе оптимальных стратегий игрока А используются две группы. Если известны вероятности состояний природы, то применяются критерии Байеса или Лапласа. Если вероятности состояний природы совсем неизвестны и нельзя сделать о них никаких предположений, пользуются критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Рассмотрим первую группу критериев, применяемую, если известны вероятности состояний природы.

Согласно критерию Байеса оптимальной считается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш игрока А, т. е. обеспечивается .

Согласно "принципу недостаточного основания" Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию , обеспечивающую максимум среднего выигрыша . При этом игроку А все состояния природы представляются равновероятными, т.е (n – кол-во стратегий) .

Рассмотрим вторую группу критериев (критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица), применяемую, если вероятности состояний природы совсем неизвестны.

Оптимальной по критерию Вальда считается максиминная чистая стратегия , при которой в наихудших условиях гарантируется максимальный выигрыш игрока А, т.е. ему обеспечивается нижняя чистая цена игры . Критерий Вальда выражает позицию крайнего пессимизма.

Оптимальной по критерию Сэвиджа (минимаксного риска) считается та чистая стратегия , при которой минимизируется величина максимального риска, т. е. обеспечивается . Это тоже критерий крайнего пессимизма, но здесь пессимизм понимается в ином свете: рекомендуется всячески избегать большого риска при принятии решения.

При выборе оптимальной стратегии игрока А по критерию Сэвиджа используют платежную матрицу и матрицу рисков.

Риском игрока А, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию в неведении о том, какое же состояние природа реализует.

Элементы матрицы рисков определяются по формуле , где – максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы, т.е. ).

По критерию Гурвица оптимальной считается чистая стратегия , найденная из условия

,

где коэффициент доверия принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений. При =1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, при = 0 – в критерий крайнего оптимизма, когда рекомендуется выбирать стратегию, обеспечивающую самый большой выигрыш. В связи с этим критерий Гурвица называют критерием пессимизма-оптимизма. При 0 < < 1 получается нечто среднее между тем и другим. Коэффициент доверия выбирается на основании субъективных соображений (опыта, здравого смысла и т.д.). Чем ответственнее ситуация, чем больше стремление подстраховаться в ней и не рисковать без должных оснований, тем ближе к единице выбирается коэффициент доверия .

Пример. Магазин заказывает некоторый товар. Стоимость своевременного заказа 0,5 ден.ед. за ед. товара, доход от реализации 1 ед товара – 4 ден.ед. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 6 до 8 единиц. Если заказанного товара ока­жется недостаточно для удовлетворения спроса, то можно срочно заказать и завезти недостающее количество, расходы по срочному заказу и заво­зу единицы товара составляют 2 ден.ед. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар хранится на складе магазина, и рас­ходы на хранение единицы товара составляют 1 ден.ед. Требуется определить такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом, были бы минимальными.

Решение. В данном примере покупательский спрос выступает в качестве второго игрока, т.е. природы, стратегии которой определяются данными спроса, т.е. П₁ =6ед.; П₂ =7ед.; П₃ =8 ед. Игроком А является руководство магазина, стратегии которого лежат в тех же пределах. Если решающее правило сформулировать как «доход минус издержки», то элементы платежной матрицы вычисляются так, как показано.

Таблица 1

	П1=6	П2=7	П3=8	min
A1=6	Заказано 6 ед. товара, оказалось, что спрос на 6 ед. 6·4–6·0,5=21	Заказано 6 ед. товара, оказалось, что спрос на 7 ед., т.е. 1 ед. товара надо срочно заказать 7·4–6·0,5–1·2=23	Заказано 6 ед. товара, оказалось, что спрос на 8 ед., т.е. 2 ед. товара надо срочно заказать 8·4–6·0,5–2·2=25	21
A2=7	Заказано 7 ед. товара, оказалось, что спрос на 6 ед., т.е. возникнут расходы на хранение 1 ед. товара 6·4–7·0,5–1·1=19,5	Заказано 7 ед. товара, оказалось, что спрос на 7 ед. 7·4–7·0,5=24,5	Заказано 7 ед. товара, оказалось, что спрос на 8 ед., т.е. 1 ед. товара надо срочно заказать 8·4–7·0,5–1·2=26,5	19,5
A3=8	Заказано 8 ед. товара, оказалось, что спрос на 6 ед., т.е. возникнут расходы на хранение 2 ед. товара 6·4–8·0,5–2·1=18	Заказано 8 ед. товара, оказалось, что спрос на 7 ед., т.е. возникнут расходы на хранение 1 ед. товара 7·4–8·0,5–1·1=23	Заказано 8 ед. товара, оказалось, что спрос на 8 ед. 8·4–8·0,5=28	18
max	21	24,5	28

Найдем нижнюю чистую цену игры по формуле:

.

Верхнюю чистую цену игры находим по формуле:

.

Так как верхняя цена и нижняя цена равны, то игра имеет седловую точку, решается в чистых стратегиях и имеет чистую цену игры v = α = β= 21. Решение игры: (А₁, В₁, 21).

Оптимальный выбор для сознательного игрока А – чистая стратегия А₁, т.е. игроку А следует рекомендовать купить 6 ед.товара, за что придется заплатить 21 ден.ед. Давать рекомендации второму игроку П (природе) по оптимальному поведению не имеет смысла.

Рассмотрим примеры применения различных критериев. Так как в задаче не указаны вероятности состояний природы, будем использовать критерии второй группы.

По критерию Вальда оптимальная максиминная чистая стратегия , при которой в наихудших условиях гарантируется максимальный выигрыш игрока А, определяется по формуле:

В нашем случае 21. Таким образом, по критерию Вальда с позиции крайнего пессимизма для игрока А оптимальной является первая стратегия, соответствующая α.

Для вычисления оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа требуется как платежная матрица (таблица 1), так и матрица рисков. Составим матрицу рисков (таблица 2) с учетом того, что элементы матрицы рисков определяются по формуле , где – максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии .

таблица 2 – матрица рисков

	П1=6	П2=7	П3=8	mах
A1=6	= 21 – 21 = 0	= 24,5 – 23 = 1,5	= 28 – 25 = 3	3
A2=7	= 21 – 19,5= 1,5	= 24,5 – 24,5 = 0	= 28 – 26,5 = 1,5	1,5
A3=8	= 21 – 18 = 3	= 24,5 – 23 = 1,5	= 28 – 28 = 0	3
(из табл 1)	21	24,5	28

Оптимальной по критерию Сэвиджа (минимаксного риска) считается чистая стратегия А_i, обеспечивающая минимум максимального риска, т. е. = 1,5.

По критерию Сэвиджа оптимальной является вторая стратегия игрока А. Данная рекомендация выработана с точки зрения крайнего пессимизма, но здесь пессимизм понимается в ином свете: рекомендуется всячески избегать большого риска при принятии решения.

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия, найденная из условия:

,

где коэффициент доверия γ принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.

Пусть в нашем случае γ = 0,7 (в позиции, довольно близкой к крайнему пессимизму).

Вычислим каждое значение по выражению в скобках в формуле критерия Гурвица:

0,7 · 21 + (1 – 0,7) · 25 = 22,2

0,7 · 19,5 + (1 – 0,7) · 26,5 = 21,6

0,7 · 18 + (1 – 0,7) · 28 = 21

.

Таким образом, по критерию Гурвица оптимальной является первая стратегия игрока А.

Рассмотрим теперь примеры применения критериев первой группы.

Предположим, что известны вероятности состояний природы: вероятность наступления первого состояния спроса П₁ составляет 0,45, обычной зимы – 0,2, холодной зимы – 0,35. Таким образом, становится возможным применение критерия Байеса.

Оптимальной по критерию Байеса считается чистая стратегия А_i, при которой максимизируется средний выигрыш игрока А:

21 · 0,5 + 23· 0,4 + 25· 0,1 = 22,8

19,5 · 0,5 + 24,5· 0,4 + 26,5· 0,1 = 22,95

18 · 0,5 + 23· 0,4 + 28· 0,1 = 22,5

Таким образом, по критерию Байеса оптимальной является вторая стратегия.

Оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия , обеспечивающая максимум среднего выигрыша . При этом считают все состояния П_j природы равновероятными: , где n – количество стратегий.

(1/3) · (21+23+25) = 23

(1/3) · (19,5+24,5+26,5) = 23,5

(1/3) · (18+23+28) = 23

.

Таким образом, по критерию Лапласа оптимальной является вторая стратегия.

Подытожим наши расчеты оптимальных стратегий игрока А по критериям.

По критерию Вальда оптимальной является первая стратегия.

По критерию Сэвиджа оптимальной является вторая стратегия.

По критерию Гурвица оптимальной является первая стратегия.

По критерию Байеса оптимальной является вторая стратегия.

По критерию Лапласа оптимальной является вторая стратегия.

Таким образом, два критерия рекомендуют первую стратегию, три критерия – вторую стратегию.