10.1 Теоретические положения

Сетевое Планирование и Управление (СПУ) – это комплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку плана выполнения сложных проектов и разработок. Примерами проектов могут быть: строительство и реконструкция каких-либо объектов; выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ; подготовка производства к выпуску продукции; перевооружение армии; развертывание системы медицинских или профилактических мероприятий.

Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Они обуславливают друг друга так, что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие. Например, укладка фундамента не может быть начата раньше, чем будут доставлены необходимые материалы; эти материалы не могут быть доставлены раньше, чем будут построены подъездные пути; любой этап строительства не может быть начат без составления соответствующей технической документации и т.д.

СПУ включает три основных этапа:

1. Структурное планирование;

2. Календарное планирование;

3. Оперативное управление.

Основным элементом систем СПУ является сетевая модель, которая моделирует процесс выполнения комплекса работ для достижения определенной цели.

Сетевой график – графическое изображение сетевой модели. Сетевой график с математической точки зрения представляет собой ориентированный граф без петель и контуров. Обозначим его

G =(Е, ), где Е – множество вершин, – множество дуг.

Основными понятиями сетевых моделей являются понятия события, соответствующие дугам на сетевом графике и работы, соответствующие вершинам на сетевом графике.

Работой называется любой процесс, происходящий во времени.

Все работы можно разделить на

– действительные работы – любой трудовой процесс, требующий ресурсов и имеющий некоторую продолжительность,

– ожидания – некоторый процесс, не требующий ресурсов, но имеющий некоторую продолжительность,

– фиктивные работы (зависимости) – не требуют ресурсов и имеют нулевую продолжительность, они используются для обозначения логических зависимостей между действительными работами.

Событие – это результат выполнения работ, в него входящих; оно не имеет протяженности во времени и не потребляет ресурсов.

На любом сетевом графике можно выделить события

– начальное,

– промежуточное и

– конечное события.

Любая работа сетевой модели соединяет два события: начальное событие работы и конечное событие работы.

Для однозначного обозначения работ используют идентификаторы (i, у), где i – номер начального события работы, у – номер конечного события работы.

Путь – это любая последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Различают следующие виды путей.

Полный путь - это путь от исходного до завершающего события.

Критический путь - максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими.

Подкритический путь - полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Они имеют особенности: начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий.

Структурное планирование начинается с разбиения проекта на четко определенные операции, для которых определяется продолжительность, и построения сетевого графика, который представляет взаимосвязи работ проекта, что позволяет детально анализировать все работы и вносить улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации.

Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы (i,j), состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий, например (2,4); 3-8; 9,10.

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий изображаются с помощью сетевого графика, где работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все операции, входящие в это событие.

Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным, событие. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

Поскольку работы, входящие в проект могут быть логически связаны друг с другом, то необходимо всегда перед построением сетевого графика дать ответы на следующие вопросы

• Какие работы необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой работы?

• Какие работы должны непосредственно следовать после завершения данной работы?

• Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой работой?

Календарное планирование предусматривает построение календарного графика, определяющего моменты начала и окончания каждой работы и другие временные характеристики сетевого графика. Это позволяет, в частности, выявлять критические операции, которым необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в директивный срок. Во время календарного планирования определяются временные характеристики всех работ с целью проведения в дальнейшем оптимизации сетевой модели, которая позволит улучшить эффективность использования какого-либо ресурса.

К временным параметрам событий относятся:

• ранний срок наступления события i - ;

• поздний срок наступления события i - ;

• резерв времени наступления события i - .

- это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i.

– это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети.

- это такой промежуток времен, на который может быть отсрочено наступление этого события без на рушения сроков завершения разработки в целом.

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СОБЫТИЙ

Расчет ранних сроков свершения событий ведется от исходного к завершающему событию.

1) Для исходного события .

2. Для всех остальных событий , где максимум берется по всем работам , входящим в событие i.

Поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному событию.

3) Для завершающего события .

4. , где минимум берется по всем работам , выходящим из события i.

5) .

На основе ранних и поздних сроков событий можно определить временные параметры работ сети. К наиболее важным временным параметрам работы относятся:

1. ранний срок начала работы ;

2. поздний срок начала работы ;

3. ранний срок окончания работы ;

4. поздний срок окончания работы ;

5. полный резерв ;

6. свободный резерв .

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ РАБОТ

1. ;

2. или ;

3. или ;

4. ;

5. ;

6. .

Разность между продолжительность критического пути и продолжительностью любого другого пути называется полным резервом времени пути L, т.е. . Этот резерв показывает, на сколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ данного пути L, чтобы при этом не изменился общий срок окончания всех работ, т.е. .

показывает максимальное время, на которое может быть увеличена продолжительность работы или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути. Важнейшее свойство полного резерва работы заключается в том, что если его использовать частично или полностью, то уменьшится полный резерв у работ, лежащих с работой на одних путях. Т.о. полный резерв времени принадлежит не одной данной работе , а всем работам, лежащим на путях, проходящим через эту работу.

показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность отдельной работы или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок. Использование свободного времени на одной из работ не меняет величины свободных резервов времени остальных работ сети.

В ходе оперативного управления используются сетевой и календарный графики для составления периодических отчетов о ходе выполнения проекта. При этом сетевая модель может подвергаться оперативной корректировке, вследствие чего будет разрабатываться новый календарный план остальной части проекта.

Оптимизация проекта по времени

Оптимизация проекта по времени сводится к сокращению продолжительности критического пути за счет привлечения дополнительных средств (количество рабочих, сверхурочное время). Эта задача возникает, когда критическое время выполнения комплекса операций превышает заданный срок .

Рассмотрим два примера постановки задачи оптимизации проекта по времени с привлечением дополнительных средств.

Постановка задачи 1. Задан сетевой график выполнения проекта, где Е – множество событий, а – множество работ. Продолжительность каждой работы равна . Известно, что вложение дополнительных средств в работу (i, j) сокращает время ее выполнения от до , причем эта зависимость выражается как ( – известные функции). Для каждой работы существует минимально возможное время ее выполнения , таким образом, сокращение продолжительности работы не беспредельно.

Требуется определить количество дополнительных вложений средств в отдельные работы проекта, а также время начала и окончания выполнения работ, чтобы проект был выполнен в заданный срок , время выполнения каждой работы было не меньше минимально возможного времени , и сумма вложенных дополнительных средств была минимальной.

Математическая запись этой задачи представлена в таблице 1.

Постановка задачи 2 аналогична постановке задачи 1, с тем отличием, что срок выполнения проекта сокращается на сколько это возможно за счет вложения суммы дополнительных средств , не превышающей величины B.

Требуется определить количество дополнительных средств , которые необходимо вложить в отдельные работы (i, j) проекта, а также время начала и окончания выполнения работ, чтобы проект был выполнен в заданный срок , время выполнения каждой работы было не меньше минимально возможного времени , и сумма вложенных дополнительных средств была минимальной и не превышала величины B.

Математически условия задачи можно записать так, как показано в таблице 1.

Таблица 1

Постановка задачи 1	Постановка задачи 2
Целевая функция минимизации суммы вложенных дополнительных средств	Целевая функция минимизации общего времени выполнения проекта
Ограничение по времени окончания проекта (должно быть не больше заданного ):	Ограничение по сумме вложенных дополнительных средств, которая не должна превышать величины B
Ограничение по продолжительности каждой работы (продолжительность должна быть не менее минимально возможной ее продолжительности ):
Ограничения-равенства, показывающие зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных средств:
Ограничения, обеспечивающие выполнение условий предшествования работ: время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания предшествующих ей работ:
Условие неотрицательности искомых величин:

Приведенные постановки задачи относятся к классу задач математического программирования и могут быть решены известными методами в зависимости от вида функций . Если предположить, что продолжительность выполнения работ линейно зависит от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением

где – технологические коэффициенты использования дополнительных средств, то будем иметь задачу линейного программирования.

Если в последнее событие сети п входят сразу несколько работ, то на сетевой график необходимо добавить фиктивную работу (n, n+1), время выполнения которой равно нулю. К ограничениям-равенствам, показывающим зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных средств, добавится ограничение . Целевая функция запишется так: .

Пример 1. Для сокращения срока реализации проекта, представленного сетевым графиком (рисунок 1), заказчик выделил дополнительные средства. Продолжительность выполнения работ линейно зависит от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением . Известно, что k_l2 = 0,1; k₁₃ = 0,2; k₂₃ = 0,5; k₂₄ = 0,3; k₃₅ = 0,6; k₄₅ = 0,1. Над каждой работой поставлена ее продолжительность и минимально возможное время выполнения d_ij.

Рисунок 1

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, то есть найти такие , , , чтобы:

а) время выполнения всего проекта не превышало 24 ед.;

б) продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной величины ;

в) суммарный расход дополнительных средств был минимальным.

Запишем условие задачи на листе Excel и решим ее (рисунки 2-4).

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Пример 2. Для сокращения срока реализации проекта, представленного сетевым графиком (рисунок 4), заказчик выделил 14 ед. дополнительных средств. Продолжительность выполнения работ линейно зависит от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением . Известно, что k_l2 = 0,1; k₁₃ = 0,2; k₂₃ = 0,5; k₂₄ = 0,3; k₃₅ = 0,6; k₄₅ = 0,1. Над каждой работой поставлена ее продолжительность и минимально возможное время выполнения d_ij.

Рисунок 4

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, то есть найти такие , , , чтобы:

а) время выполнения всего проекта было минимальным;

б) продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной величины ;

в) сумма дополнительно вложенных средств не превышала 14 ед.

Запишем условие задачи на листе Excel и решим ее (рисунки 2-4).

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 6

Таким образом, при дополнительном вложении 14 ед. комплекс работ может быть выполнен за 30 ед. времени. При этом средства распределятся следующим образом: 4 ед. в работу (2, 3) и 10 ед. в работу (3, 5) (Рис.4).

Оптимизация проекта по стоимости

В общем случае стоимость выполнения работы зависит от ее продолжительности. Продолжительность каждой работы может изменяться между двумя границами d_ij и D_ij, определяемыми техническими или экономическими соображениями. Если D_ij – нормальная продолжительность, ей соответствует минимальная стоимость c_ij выполнения работы (i, j); если d_ij – минимально возможная (экстренная) продолжительность работы, при этом стоимость работы будет максимальной С_ij. Если при планировании проекта для каждой работы будет взята ее нормальная (наибольшая) длительность D_ij, то стоимость проекта будет минимальной. Если для каждой работы взять ее ускоренную, минимально возможную продолжительность d_ij, мы получим срочный план. Стоимость выполнения проекта в этом случае будет максимальной.

Зависимость стоимости от продолжительности работы нелинейна, но для упрощения оптимизационных расчетов предполагают, что уменьшение продолжительности работы пропорционально возрастанию ее стоимости. Тогда в расчете на единицу времени дополнительные затраты на сокращение продолжительности работы, рассчитываемые в соответствии с коэффициентом дополнительных затрат h_ij, будут равны

Коэффициент дополнительных затрат h_ij показывает, на сколько увеличится стоимость операции при увеличении продолжительности на единицу времени.

Рассмотрим оптимизацию комплекса работ по стоимости при фиксированном сроке выполнения.

Предполагается, что все работы выполняются в срочном режиме и исходная стоимость проекта максимальна. Необходимо минимизировать стоимость проекта при фиксированном сроке его завершения t₀ за счет увеличения времени выполнения отдельных работ.

Увеличение продолжительности работы (i, j) по сравнению с минимальным сроком выполнения на (t°_ij - t^н_ij - d_ij) вызовет экономию средств на величину h_ij (t°_ij -t^н_ij - d_ij), a стоимость выполнения работы станет равна

С = C_ij - h_ij (t^o_ij - t^н_ij - d_ij).

Рассмотрим оптимизацию комплекса работ по стоимости при нефиксированном сроке выполнения.

Пусть задан сетевой график проекта и известны продолжительность каждой работы и стоимость ее выполнения в нормальном (D_ij, c_ij) и срочном (d_ij;, C_ij) режиме работы. Если все работы выполняются в нормальном режиме, то критический срок будет наибольшим, а стоимость выполнения – наименьшей. Время выполнения проекта может быть уменьшено путем увеличения стоимости. Необходимо сократить критический срок до некоторого минимально возможного значения при наименьшем возрастании стоимости выполнения проекта.

Оптимизация проекта по ресурсам

Пусть проект задан сетевым графиком. Для выполнения проекта выделено R единиц ресурса. Каждая работа характеризуется продолжительностью выполнения t_ij и интенсивностью потребления ресурса r_ij. Под интенсивностью потребления будем понимать требуемое количество ресурса для выполнения работы (i, j) в единицу времени. Для простоты допустим, что интенсивности постоянные.

Под оптимальным распределением ресурса понимается такое размещение работ во времени, при котором в любой момент времени потребность в ресурсах не превышает имеющегося в наличии количества ресурса, а время выполнения проекта минимально.