3.4. Особенности эконометрического моделирования экономических процессов

При построении эконометрической модели, наиболее часто используемыми видами моделей являются модели вероятностные, относящиеся к корреляционно-регрессионному типу. Именно такие модели в наибольшей степени отражают явления и процессы экономического характера. Одной из важных процедур в таких моделях, является оценка взаимосвязей между экономическими переменными, описывающих исследуемые процессы.

Например, формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изготовлением с какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть функцией дохода и т. д. Все эти примеры связей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) играет роль объясняемой переменной (или результирующего показателя), обычно обозначается как - у, другие интерпретируются как объясняющие переменные (факторы-аргументы, исходные переменные) и обозначаются как - х. Тогда уравнение связи в общей форме отражается следующей зависимостью y = f(x).

Однако для усиления адекватности модели и реальных процессов, в каждое уравнение связи вводиться несколько объясняющих переменных и остаточная случайная компонента, отражающая влияние на результирующий показатель всех неучтённых факторов и уравнение связи имеет следующей вид

y = f(x₁,x₂,…x_n, δ).

На самом деле, спрос на товар зависит не только от цены, а еще от: потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары и пр. При этом, участвующая в каждом из этих соотношений случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтённых факторов, обусловливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определённых уровнях значения объясняющих переменных, скажем, цены на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, мы не можем говорить об однозначном определении спроса на этот товар.

Наиболее распространенной в эконометрических моделях формой представления зависимости, для одной исходной переменной х, является аддитивная линейная форма:

y = а_o+а₁x .

Формой представления зависимости для нескольких исходных переменных (х₁, х₂,…,х_n) может быть аддитивная линейная форма, задающая множественную зависимость:

y = а_o+а₁x₁ + а₂x₂ +…+ а_nx_n .

Эконометрика как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач — отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. И в уравнения регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени — с целью отразить свойство оп­тимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается минимаксное воздействие на зависи­мую переменную.

Так, например, можно задать влияние удобре­ний на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности; по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение. То же можно сказать о воздействии многих социально-экономических переменных (скажем, возраста рабо­чего на уровень производительности труда или влияния дохода на потребление некоторых продуктов питания и т. д.).

Для сложных экономических процессов и явлений формируют систему таких уравнений связи, в которых один и тот же фактор может участвовать и как исходный фактор, и как результативный. В этом случае формой представления зависимости для нескольких исходных м результативных переменных (у₁,у₂,…,у_m, х₁, х₂,…,х_n) является система линейных одновременных уравнений различной структуры.

Cледующим шагом в развитии эконометрического моделирования, является группировка отдельных соотношений в модели. Всякая математическая модель является лишь упрощенным формализованным представлением реального объекта (явления, процесса), и искусство ее построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации модели с достаточной адекватностью описания именно тех сторон моделируемой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей, включаемых в экономическую модель, зависит от условий, при которых эта модель конструируется, и от подробности объяснения, которой мы стремимся. Например, традиционная модель спроса и предложения (см. выше) должна объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого определения рынка. Она содержит три уравнения, а именно: уравнение спроса, уравнение предложения и уравнение реакции рынка.

В эти уравнения, помимо интересующих нас объемов выпуска и цены, будут входить и другие переменные; так, например, в уравнении спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения – цена. Объяснение, достигнутое с помощью такой модели, обусловлено значениями некоторых «внешних» по отношению к модели переменных и этом смысле модель является неполной, или условной.

Все экономические модели, независимо от того, относятся они ко всему хозяйству или к его элементам (т.е. макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности:

- поведение экономических переменных определятся с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений;

- модель, несмотря на допускаемое упрощение действительности, тем не менее, отражает базовые характеристики изучаемого объекта;

- отражаемые в модели реальные процессы и явления, дают возможность предсказания динамики их развития и управление в целях увеличения экономической эффективности.

Рассмотрим пример весьма общей и приближенной макромодели при следующих условиях и ограничениях [2,3-4,9,25]:

• потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо медленнее чем рост дохода;

• объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирования (например, нормы процента);

• национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Построение эконометрической модели необходимо начать с определения типа соотношения между переменными (линейное или нелинейное). Затем следует определить процесс запаздывания инвестиций по времени (зависимость только от уровня в последнем периоде, или же – от динамики предыдущих периодов).

Выбор осуществляется наиболее простой из возможных форм соотношений. С учетом указанных выше положений можно построить следующую линейную и аддитивную модель:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

где ограничения процесса выражены неравенствами o < α₁ < 1; β₁ > 0; β₂ > 0.

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют модель. В ней y_t⁽¹⁾ означает потребление, y_t⁽²⁾ – инвестиции, y_t⁽³⁾ – национальных доход, x₀⁽¹⁾ – подоходный налог, x_t⁽²⁾ – норму процента как инструмент государственного регулирования, x_t⁽³⁾ – государственные закупки товаров и услуг, измененные в момент времени t.

Полученная модель содержит два уравнения, объясняющая поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Модель сформулирована для дискретных периодов времени с запаздыванием (лаг) в один период для отражения воздействия национального дохода на инвестиции.

Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

При построении и анализе эконометрической модели различают ее структурную и приведенную формы. Структурная форма модели задается соотношениями вида:

и

Обычно, для пояснения сущности эконометрической модели и описания основных возникающих при ее построении и анализе проблем, процесс моделирования разбивается на шесть основных этапов.

1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли;

2-й этап (априорный) – промодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих;

3-й этап ( параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в нее связей;

4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных или пространственных тактах функционирования изучаемого явления;

5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

Последние три этапа (4-й, 5-й и 6-й) сопровождаются процедурой калибровки модели.

Математическая модель экономического явления или процесса, может быть сформулирована на общем (качественном) уровне, без настройки на конкретные статистические данные, т.е. она может иметь смысл и без 4-го и 5-го этапов. Но тогда она не является эконометрической. Суть именно эконометрической модели заключается в том, что она, будучи представленной в виде набора математических соотношений, описывает функционирование конкретной экономической системы, а не системы вообще (именно экономики России или процесса «спрос-предложение» в данном конкретном месте и в данное время). Поэтому она обязательно «настраивается» на конкретных статистических данных.

В конкретных условиях нелинейность влияния переменных может не подтвер­диться, если данные варьируют в узких пределах, т.е. являются однородными. Другими неприятными моментами, искажающими достоверность и точность полученных результатов моделирования являются следующие моменты:

• асимметричность связей между факторами;

• мультиколлинеарность (взаимосвязь) объясняющих переменных;

• эффект гетероскедастичности, т. е. отсутствия нормального распределения остатков для регрессионной функции;

• наличие автокорреляции и ложной корреляции;

Любое эконометрическое исследование включает решение следующих проблем:

• качественный анализ связей экономических переменных — выделение зависимых y и независимых переменных x;

• подбор данных;

• спецификация формы связи между у и вектором исходных переменных {x_i};

• оценка параметров модели;

• проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятнос­тей для случайной компоненты (гипотезы о средней, диспер­сии и ковариации);

• анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление перемен­ных, ответственных за мультиколлинеарность;

• введение фиктивных переменных;

• выявление автокорреляции;

• выявление тренда, циклической и случайной компонент;

• проверка остатков на гетероскедастичность;

• анализ структуры связей и построение системы одновремен­ных уравнений;

• проверка условия идентификации;

• оценивание параметров системы одновременных;

• моделирование на основе системы временных рядов;

• идентификация и оценивание параметров модели.

Эконометрическая модель, как правило, основана на теоре­тическом предположении о системе взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. И весьма важным является обоснование таких характеристик связи как аддитивность и линейность, которые часто отождествляются между собой

По А. Голдбергеру (A. Goldberger), функция у = (x_t, ...,x_k) линейна по всем независимым переменным тогда и только тогда, когда dy/dxi не включает _хi, т. е. когда d(dy/dx_i)=0, эффект данного изменения по х_i не зависит от х_i,. Говорят, что функция у = f(х_l,...,х_k) является аддитивной по x_i тогда и только тогда, когда dy/dx_i, не включает х_j , т. е. тогда, когда d(dy/dxi)dxj = 0, эффект данного изменения по каждой независимой переменной не зависит от уровня другой переменной.

Адди­тивность определяет то, что совместный эффект изменения по всем учтен­ным независимым переменным может быть получен сложением отдельно вычисленных эффектов изменений по каждой из них. Применение линейных аддитивных уравнений в эконометрике обусловлено еще и тем, что сами уравнения регрес­сии стали обосновываться содержательно через экономические категории. Например, зависи­мость себестоимости (у) от объема производства (х) (количества единиц продукции) может быть представлена в виде следующего однофакторного уравнения:

у	=	а0	+	а1х
Затраты на производство	=	Затраты, не зависящие от объема производства (постоянные затраты)	+	Затраты, зависящие от объема производства (переменные затраты)

Разделив обе части уравнения на объем производства (х), по­лучим.

Затраты на производство в расчете на 1 ед. продукции	=	Постоянные затраты на 1 ед. продукции	+	Переменные затраты на 1 ед. продукции
ууд	=	а0 /х	+	а1

т.е. такое уравнение имеет вид:

,

а его параметры уже имеют вполне определенный экономический смысл удельных характеристик по издержкам производства.

Для проведения правильного анализа нужно знать всю сово­купность связей между переменными. Одним из первых подхо­дов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, раз­работанный в 1934 г. Р. Фришем. Он предложил изучать целую иерархию регрессий между всеми сочетаниями переменных. При этом каждая переменная рассматривалась как зависимая от всех возможных подмножеств переменных, а также от всего множест­ва переменных. Анализируя регрессии с разным числом перемен­ных, Р. Фриш обнаружил «эффект деградации» коэффициентов регрессии. Он проявляется в том, что если в регрессию включает­ся много переменных, имеющих линейные связи друг с другом (мультиколлинеарность переменных), то коэффициенты регрес­сии имеют тенденцию возвращаться к тем значениям, которые они имели в уравнении с меньшим числом переменных. Напри­мер, при четырех переменных, вводя разное их число в анализ, Р.Фриш получил следующие коэффициенты регрессии для связи между x₁ и х₂: b₁₂ = - 0,120; b_12,4 = 0,919; b_12,3 = - 0,112. Это поз­волило ему сделать вывод о наличии какого-то оптимального круга переменных, выход за который не улучшает коэффициенты регрессии, делает их неустойчивыми.

На основе изменения коэффициентов регрессии b_i и множе­ственного коэффициента детерминации R² он разделил все пере­менные на полезные, лишние и вредные. Переменная считалась по­лезной, если ее включение значительно повышало R²; когда это­го не происходило и ввод новой переменной не изменял коэффи­циентов регрессии при других переменных, то она рассматрива­лась как лишняя; если добавляемая переменная сильно изменяла bi без заметного изменения R², то переменная относилась к вред­ным. Надо сказать, что конфлюэнтный анализ не получил боль­шого распространения.

Методы корреляций и регрессий создавались как методы описания совместных изменений двух и более переменных. Совместные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними. Потребность в причинном объ­яснении корреляции привела американского генетика С. Райта к созданию метода путевого анализа (1910—1920) как одного из разновидностей структурного моделирования. Путевой анализ основан на изучении всей структуры причинных связей между переменными, т. е. на построении графа связей и изоморфной ему рекурсивной системы уравнений. Его основным положени­ем является то, что оценки стандартизированных коэффициен­тов рекурсивной системы уравнений, которые интерпретируют­ся как коэффициенты влияния (путевые коэффициенты), рассчи­тываются на основе коэффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Каждый коэффициент парной корреляции рассматривается как мера полной связи двух пере­менных.

Путевой анализ позволяет разложить величину этого коэф­фициента на четыре компоненты:

• прямое влияние одной переменной на другую (в этом случае в причинной цепи между одной и другой переменными нет промежуточных звеньев);

• косвенное влияние, т. е. передача воздействия одной пере­менной на другую через посредство переменных, специфици­рованных в модели как промежуточное звено в причинной цепи, связывающей изучаемые переменные;

• непричинная компонента, объясняемая наличием общих причин, воздействующих на одну и другую переменную;

• непричинная компонента, зависящая от неанализируемой в модели корреляции входных переменных. Если компоненты прямого и косвенного причинного влияния равны нулю, кор­реляция между переменными является ложной. Таким образом, путевой анализ С. Райта, так же как и струк­турные модели, позволил прояснить проблему ложной корреля­ции, которой занимались многие видные статистики, начиная с К. Пирсона (1857-1936).

При работе с временными рядами разных показателей и при изучении взаимосвязей между ними довольно быстро были осоз­наны проблема ложной корреляции и проблема лага, т. е. сдвига во времени, который позволял уловить наличие связи между по­казателями (ВВП и инвестициями, приемом на учебу и выпус­ком из учебных заведений и т. д.).

О. Андерсон (1887-1960) предложил измерять взаимосвязи между всеми названными компонентами рядов и находить част­ные корреляции между ними. Значимость каждой из них, конеч­но, различна: если тренды обоих временных рядов сильно выра­жены и имеют одинаковую направленность, то соответствующая корреляция получает большое значение; если тренды разнонап­равленны, то корреляция может быть более значительной по ве­личине, но отрицательной по знаку; корреляция между осталь­ными компонентами определяется теснотой связи между трен­дом и конъюнктурными колебаниями, трендом и сезонностью и т. д. О. Андерсон подчеркивал, что невозможно предсказать, ка­кое значение может получить ковариация тех или иных компо­нент, так как все определяется конкретным экономическим ма­териалом. Он обратил внимание на то, что дисперсии уровней временных рядов также могут быть представлены как много­сложные, включающие вариацию тренда, конъюнктурной ком­поненты, сезонной и остаточной компонент.

Метод оценки разностей разных порядков во временных ря­дах для подбора наиболее подходящей степени полинома для описания тренда развивался О. Андерсоном одновременно с В. Госсетом (Стьюдент) (1876—1937). Обнаружилось, что нельзя применять классические методы корреляционного анализа к временным рядам, так как не выполняется исходное условие - независимость наблюдений. Так был установлен эффект авто­корреляции, выявление и устранение которого составляет одну из важнейших особенностей эконометрического метода.

Исследование динамики социальных и экономических про­цессов выявило довольно сильную распространенность эффекта насыщения: выхода на асимптоту при достижении определенных значений показателей. В силу этого в эконометрике большое расп­ространение получили так называемые кривые с насыщением. К этому типу кривых относится кривая Гомперца — s-образная кри­вая, предложенная Б. Гомперцем (1799-1865), которая имеет вид

y= Ка^bt, где К,а,b — параметры; t — время (1, 2,...).

Кривая Гомперца используется для аналитического выраже­ния тенденции развития показателя во времени, имеющего огра­ничения на рост (рис. 3.7).

Если log а < 0, то верхний предел для показателя у равен пара­метру К, а нижний 0. Если log a > 0, то кривая имеет лишь ниж­ний предел, равный величине параметра K (рис. 3.7 в, г).

Рисунок 3.7. Кривая Гомперца: а) log а < 0 при b < I; б) log а < 0 при b > 1;

в) log a > 0 при b < I; г) lоg а >0 при b < I.

Для определения параметров тренда a и b может использо­ваться метод наименьших квадратов, только при заданном параметре К. В противном случае возможно лишь приближенное оценива­ние параметров. Кривая Гомперца применяется в демографичес­ких расчетах, страховом деле, финансовых моделях и пр.

К этому же типу кривых относится и логистическая кривая (рис. 3.8), т. е. кривая с насыщением и точкой перегиба, вида

где t - время (1,2,3, ....); a, b и К — параметры.

Рисунок 3.8. Логистическая кривая

Эта кривая характеризует развитие показателя во времени, когда ускоренный рост в начале периода сменяется замедляю­щимся темпом роста вплоть до полной остановки, что на графи­ке соответствует отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Используется для описания развития производства новых това­ров, описания рынка, роста численности населения и т. д. Максимум функции со­ответствует параметру К; если К задано, то параметры а и b опре­деляются методом наименьших квадратов. Впервые такая кривая была применена А. Кетле (1796—1874гг.) для расчета численности населения.

Большое внимание в эконометрике уделяется проблеме дан­ных — специальным методам работы при наличии данных с про­пусками, влиянию агрегирования данных на эконометрические измерения. Информация может отсутствовать по единицам сово­купности и быть только на уровне более крупных единиц (агрега­тов) — например, не по отдельным организациям, а по организа­циям в пределах административного района, т.е. по районам, и т. д. При агрегировании данных во времени опасность искажения результатов измерений (скажем, корреляции между временными рядами), гораздо больше, чем при агрегировании пространствен­ных данных. С одной стороны, добавляется эффект автокорреля­ции, а с другой — происходит погашение случайной компоненты. Результаты могут различаться весьма сильно.