3.2. Классификация сложных эконометрических моделей

Сложные модели – модели, которые характеризуются одним или несколькими уравнениями, описывающих параметры экономических процессов, которые могут быть связаны, а могут быть независимы. В зависимости от информационной определенности, в которых действует экономическая система, параметры могут быть чётко выраженными или явными, а могут быть и не чётко выражены. В зависимости от параметров экономических процессов выделяют две большие группы: определенные и неопределенные. Определенные модели, в свою очередь, в зависимости от цели решаемых задач, разделяются на три основные группы: балансовые, графовые, модели математического программирования. Существуют и другие подходы к систематизации таких моделей.

Так, например, в [1] выделяется классификация сложных экономико-математических и эконометрических моделей по признакам – используемая методология моделирования и инструментарий и технология построения моделей (рис.3.4).

Рисунок 3.4. Классификация моделей по методологии построения и инструментарию

Кратко рассмотрим типологию приведенных моделей. В основном, это модели описательного, дескриптивного типа, которые характеризуют поведение экономического объекта и определяют значение экономического показателя в каждый конкретный момент времени. Такие модели используются при управлении сложными объектами, а также при анализе отклонений возникающих в процессе управления.

Методы математического программирования. Представляет собой совокупность методов решения оптимизационных моделей, в которых необходимо распределить ограниченные ресурсы между различными направлениями их использования или бизнес-процессами, при этом должно быть достигнуто экстремальное значение целевой функции данной деятельности. Такие оптимизационные модели связаны с нахождением экстремальных значений некоторых экономических показателей, выступающих в роли зависимых переменных. Они моделируют действия ведущие к максимизации или минимизации анализируемых целевых показателей при наличии некоторых ограничений на ресурсы управления и производства.

Среди основных направлений методов математического программирования, в соответствии с видом используемых данных и получаемых целевых функций и ограничений, среди модели выделяют: - метод линейного программирования; - метод нелинейного программирования; - метод динамического программирования; - метод блочного программирования; - метод параметрического программирования; - метод непараметрического программирования; - метод стохастического программирования; - и другие специализированные способы (метод целочисленного программирования; - метод дробно-кусочного программирования; - метод иммитационного программирования; - метод эвристического программирования).

Методы линейного программирования, например, применяются при решении задач оперативно-календарного и технико-экономического планирования (определение оптимальной производительности программы); технической подготовки производства: исследования положения на предприятии при изменении цен, кредитов и т.д.).

Методы динамического программирования позволяют решать задачи выбора политики замены оборудования, оптимального распределения зарплат, выбора оптимального метода расчета амортизационных исчислений.

Нелинейные модели отличаются формой записи целевой функции и ограничений по задаче, в которых используется более сложная связь между факторами, а именно различные виды нелинейных функций (параболическая, гиперболическая, экспоненциальная и пр.). Для решения таких моделей используются специальные методы программирования, такие как целочисленные, имитационные, эвристические и др.

- Методы целочисленного программирования применяются в моделях, для решения которых используются исходные параметры, представленные в виде целых не дробных чисел. Если данные представлены дробными числами – то метод называется дробно-кусочным.

- Модели, для решения которых используются методы имитационного программирования - это модели, в которых точно имитируется прохождение процессов в экономических системах и явлениях и представляют решения, базирующиеся на возможности изменения управляемых и неуправляемых параметров, а сам процесс имитационного программирования состоит из многократного повторения некоторого эксперимента с целью оценки последствий изучаемых явлений на модели.

- Методы эвристического программирования основываются на упрощении математической модели и характеризует процесс нахождения правил получения промежуточных и выходных параметров модели. Эвристическое программирование используется в тех случаях, когда: - параметры модели не точны или ограничены; - исследуемая проблема настолько сложна, что построение оптимизационной модели приводит к упрощениям; - затраты ресурсов для получения решения слишком велики; - задача содержит значительное количество качественных переменных.

Балансовые модели применяются для анализа положения и пропорционального развития подразделений, формирования планов и экономической стратегии фирмы, предприятия: для оптимизации управленческих решений, они представляются в виде прямоугольной таблицы, в клетках которой указаны количественные данные произведенных или потребленных изделий. Тем самым проводится анализ баланса между производством и потреблением. Модели данного типа применяются в основном на уровне межотраслевого планирования. Среди них выделяют следующие модели: - межотраслевого баланса, - матричных составляющих.

Графовые модели используются, в основном, при решении задач сетевого планирования и анализа транспортных сетей. В этой группе выделяют следующие модели: - модели сетевого планирования, - модели транспортных сетей. А в качестве инструментария формирования таких моделей выделяют методы - детерминированные и стохастические.

Методы сетевого планирования (сетевой анализ) — метод анализа сроков (ранних и поздних) начала и окончания нереализованных частей некоторого проекта, позволяющий увязать выполнение различных работ и процессов во времени, получив прогноз общей продолжительности реализации всего проекта. В экономических проектах, для управления денежными ограничениями используются методы формирования финансового плана (бюджета) проекта и, по мере выполнения работ, соблюдение бюджета отслеживается, с тем, чтобы не дать затратам выйти из - под контроля. Для выполнения работ требуется их ресурсное обеспечение и существуют специальные методы управления человеческими и материальными ресурсами (например, матрица ответственности, диаграммы загрузки ресурсов). Критериями эффективности выполняемых работ и проектов в этом случае являются: сроки, расходы и качество результата.

В соответствии с общепринятым принципом управления проектами, считается, что эффективное управление сроками работ является ключом к успеху по всем трем показателям. Временные ограничения проекта часто являются наиболее критичными. Там, где сроки выполнения проекта серьезно затягиваются, весьма вероятными последствиями являются перерасход средств и недостаточно высокое качество работ. Поэтому, основной акцент делается на календарном планировании работ и контроле за соблюдением календарного графика.

Метод сетевого планирования был разработан в конце 50-х годов в США. В 1956 г. М.Уолкером при разработке планов-графиков крупных комплексов работ по модернизации предприятия. Первоначально метод был назван методом Уолкера-Келли, а позже получил название Метода Критического Пути - МКП (или CPM - Critical Path Method).

Одновременно был создан метод анализа и оценки программ PERT (Program Evaluation and Review Technique), используемый для реализации проекта разработки ракетной системы "Поларис", состоящий из 60 тыс. операций.

Применение таких подходов позволило определить требования в каждый момент времени, ответственного и вероятность своевременного завершения отдельных операций.

Исследования, проведенные еженедельником InfoWorld, показали, что около 50% пользователей в США работают с планами, состоящими из 500 - 1,000 работ, около 30% - с планами, содержащие более 1,000 работ, причем треть из них управляет от 50 до 100 видами ресурсов в рамках проекта. Применение системы управления проектами на практике может быть эффективным и полезным.

В качестве инструментария моделирования используются детерминированные и вероятностные подходы.

Детерминированные сетевые методы включают – диаграмму Ганта; - метод критического пути (МКП).

Вероятностные сетевые методы включают: - метод статистических испытаний (метод Монте-Карло); - метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ, PERT); - метод графической оценки и анализа (GERT)

Диаграмма Ганта представляет собой отрезки (графические плашки), размещенные на горизонтальной шкале времени. Каждый отрезок соответствует отдельной задаче или подзадаче. Задачи и подзадачи, составляющие план, размещаются по вертикали. Начало, конец и длина отрезка на шкале времени соответствуют началу, концу и длительности задачи. Диаграмма отражает текущее состояние выполнения работ: часть прямоугольника, отвечающего задаче, заштриховывается, отмечая процент выполнения задачи; показывается вертикальная линия, отвечающая моменту «сегодня».

Часто диаграмма Ганта дополняется таблицей со списком работ, строки которой соответствуют отдельно взятой задаче, отображенной на диаграмме, а столбцы содержат дополнительную информацию о задаче.

Метод критического пути представляет собой способ эффективного планирования расписания и управления сроками проекта. В основе метода лежит определение наиболее длительной последовательности задач от начала проекта до его окончания с учетом их взаимосвязи. Задачи лежащие на критическом пути (критические задачи) имеют нулевой резерв времени выполнения и в случае изменения их длительности изменяются сроки всего проекта.

В связи с этим при выполнении проекта критические задачи требуют более тщательного контроля, в частности, своевременного выявления проблем и рисков, влияющих на сроки их выполнения и, следовательно, на сроки выполнения проекта в целом. В процессе выполнения проекта критический путь проекта может меняться, так как при изменении длительности задач некоторые из них могут оказаться на критическом пути.

Расчёт критического пути ведется по методу «эстафеты» и начинается с просмотра всех дуг сетевого графика. Сроки окончания работ сетевого графика, выходящих из первого события, будут определяться их продолжительностью. Время наступления любого события считают равным самому позднему времени окончания непосредственно входящих в это событие работ: считается, что работа в сетевом графике не может начаться, пока не завершены все предшествующие для нее работы.

Если для вершины i связанной работой с вершиной j определено предположительное время его свершения и это время плюс продолжительность работы больше предположительного времени наступления события j, тогда для вершины j устанавливается новое предположительное время наступления, равное предположительному времени наступления события i плюс продолжительность работы рассматриваемой дуги. Решение заканчивается, когда очередной просмотр дуг не вызывает ни одного исправления предположительного значения времени начала/окончания работ/событий.

В результате может быть определено событие с самым поздним временем наступления, и путь от начальной вершины в эту конечную будет считаться критическим и определять продолжительность выполнения проекта. Наряду с общей продолжительностью выполнения проекта, критический путь определяет другие характеристики сетевого графика, играющие важную роль при планировании реализации нововведения, минимизации сроков и расходов на разработку. Суть решения задачи сокращения сетевого графика сводится к привлечению дополнительных ресурсов к выполнению работ, лежащих на критическом пути, снятием работ, не лежащих на критическом пути, запараллеливанием работ.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в рассмотрении сети в качестве вероятностной модели, на которой оценки продолжительностей отдельных работ могут принимать любые значения, лежащие в крайних (минимум и максимум) указанных экспертами пределах, и даже выходить за эти пределы в той степени, в которой это допускают законы теории вероятностей. Сущность метода статистических испытаний состоит в генерации с помощью компьютерных технологий очень большого количества (порядка десятков тысяч) отдельных реализаций рассматриваемой сетевой модели, отличающихся друг от друга тем, что продолжительности работ во всех вариантах модели случайно выбираются по законам, характеризующим распределение каждой из отдельных оценок продолжительностей. Для расчета сетевой модели методом статистических испытаний требуются следующие исходные данные: - перечень (номенклатура) работ проекта; - последовательность выполнения работ, характеризуемая установленными связями между работами и заданная на графе; - функции плотности распределения вероятности продолжительности каждой работы.

Основными результатами метода являются: - функция плотности распределения вероятности общей продолжительности проекта; - функции плотности распределения вероятности ранних и поздних сроков начала и окончания отдельных работ. Таким образом, при каждом «испытании» сетевой модели находится критический путь и вычисляются все необходимые параметры плана работ. Общая продолжительность проекта, а также сроки выполнения отдельных работ, определенные в результате применения метода, представляются в виде функций распределения вероятностей продолжительностей.

Способ, имеющий название Program (Project) Evaluation and Review Technique (сокращенно PERT) — представляет собой технологию оценки и анализа программ (проектов), которая используется при управлении проектами. PERT — это способ анализа задач, необходимых для выполнения проекта. В особенности, анализа времени, которое требуется для выполнения каждой отдельной задачи, а также определение минимального необходимого времени для выполнения всего проекта.

PERT был разработан для составления графиков больших и сложных проектов и дает возможность разработать рабочий график проекта без точного знания деталей и необходимого времени для всех его составляющих. Самой популярной частью PERT является метод критического пути, опирающийся на построение сетевого графика (сетевой диаграммы PERT).

Диаграмма PERT представляет собой множество точек-вершин (события) вместе с соединяющими их ориентированными дугами (работы). Всякой дуге, рассматриваемой в качестве какой-то работы из числа нужных для осуществления проекта, приписываются определенные количественные характеристики. Это — объемы выделяемых на данную работу ресурсов и, соответственно, ее ожидаемая продолжительность (длина дуги). Любая вершина интерпретируется как событие завершения работ, представленных дугами, которые входят в нее, и одновременно начала работ, отображаемых дугами, исходящими оттуда. Таким образом отражается тот факт, что ни к одной из работ нельзя приступить прежде, чем будут выполнены все работы, предшествующие ей согласно технологии реализации проекта. Начало этого процесса — вершина без входящих, а окончание — вершина без исходящих дуг. Остальные вершины должны иметь и те, и другие дуги.

Метод графической оценки и анализа (метод GERT) относят к альтернативным вероятностным методам сетевого планирования и разработан в США в 1966 году. Он применяется в тех случаях организации работ, когда последующие задачи могут начинаться после завершения только некоторого числа из предшествующих задач, причем не все задачи, представленные на сетевой модели, должны быть выполнены для завершения проекта. Основу применения метода GERT составляет использование альтернативных сетей, называемых GERT-cетями, которые позволяют более адекватно задавать сложные процессы при невозможности однозначного определения последовательности и длительности предполагаемых работ для достижения намеченного результата (т.е. существует многовариантность реализации проекта).

Транспортные сети – в теории управления, под транспортной сетью понимают ориентированный граф G = (V,E) , в котором каждое ребро (u, v) E имеет неотрицательную пропускную способность c(u, v) ≥ 0 и поток f(u,v). Выделяются две вершины: источник s и сток t, такие, что любая другая вершина сети лежит на пути из s в t. Транспортная сеть может быть использована для моделирования коммуникаций, дорожного трафика и пр. Самый частый пример использования транспортных сетей — нахождение максимального потока, который означает максимальный суммарный поток от s к t. Для нахождения максимального потока в сети может быть использован алгоритм Форда—Фалкерсона, алгоритм Эдмондса—Карпа и другие.

Наряду с задачей отыскания наибольшего пото­ка большое практическое значение имеет задача наибо­лее экономичного распределения потока по дугам транс­портной сети, получившая название транспортной задачи. Поскольку транспортная сеть во многих случаях представляет собой схему организации перевозок каких-либо грузов, то решение транспортной задачи позволяет определить наиболее рациональный план перевозок, т.е. такое распределение маршрутов, которое обеспечивает, например, минимальную стоимость перевозок или достав­ку грузов к потребителю в кратчайшее время.

Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая — транспортной задачи по критерию времени. Если обозначить через с_ij^:=c(x_i, x_j) — пропускную способность дуги (x_i, x_j), а через d_ij = d(x_i, x_j) — стоимость прохождения единицы потока по дуге (x_i, x_j), то транспортную задачу по критерию стоимости можно сформулировать следующим образом.

Даны транспортная сеть с наибольшим потоком φ^о  и поток φ ≤ φ^о, который должен быть пропущен по этой транспортной сети. Требуется найти такое распределение потока φ  по дугам транспортной сети, которое обеспе­чивает минимальную  стоимость прохождения потока. При этом для каждой дуги должно выполняться соотно­шение (x_i, x_j) c_ij, а стоимость прохождения потока (x_i, x_j) по дуге (x_i, x_j) равна d_ij(x_i, x_j).

Рассматриваем вели­чины d_ij как длины соответствующих дуг. В этом слу­чае стоимость прохождения потока  по какому-либо пути  от x₀ до z будет равна произведению длины это­го пути на величину потока  и задача минимизации стоимости прохождения потока сведется к решению рас­смотренной ранее задачи нахождения кратчайшего пути в графе от x₀ до z. В случае если нет ограничений на пропускную способность дуг, кратчайший путь является путем, который обеспечивает минимальную стоимость прохождения потока.

При наличии ограничений на пропускную способность дуг задача решается в несколько этапов, путем нахож­дения частичных потоков на каждом этапе. Пример транспортной сети с указанием потока и пропускной способности приведен на рис.3.5.

Рисунок 3.5. Схема транспортной сети с источником , стоком и четырьмя дополнительными узлами (a,b,c,d).

Поток и пропускная способность обозначены соответственно f/с. Поток из источника к стоку равен 5, так как видно, что поток из равен 5, что также есть и в .

Как уже ранее говорилось, в зависимости от типа имеющейся информации для формирования модели, они делятся на детерминированные и стохастические.

Стохастические методы – это методы создания таких моделей, у которых параметры изменяются по неизвестным исследователю закономерностям. Такие модели не могут быть использованы при получении достоверных характеристик состояния объекта. Однако, упрощая отношения между входными элементами можно получить более простые модели, в которых параметры связаны вероятностными или другими известными закономерностями, и такие модели будут называются уже детерминированными.

Вероятностные модели - модели в качестве параметров которых используются исходные данные, представленные не только в абсолютном виде, но и статистические и вероятностные характеристики исследуемых процессов и явлений. В состав такой обобщенной группы включают такие виды моделей как: - модели теории массового обслуживания, - статистические модели, - модели дисперсионного анализа, - модели теории информации, - модели теории запасов, - модели теории игр, - модели корреляционного и регрессионного анализа, - модели теория надежности, - модели теории статистических решений, - модели теории расписаний и др.

Модели корреляций, регрессий и дисперсионного анализа используются преимущественно при установлении различного рода норм и нормативов, построения моделей и тенденций развития экономических систем, явлений и процессов и т.д.

Корреляционный анализ – предрегрессионный анализ, в процессе которого оценивается степень тесноты статистической связи между анализируемыми переменными.

Его суть – определение случайных связей (как правило линейной) между двумя и более признаками, включаемыми в модель. Он позволяет отобрать факторы имеющие существенный характер и построить соответствующее уравнение регрессии. При этом, оценивается точность выбранной связи факторов с помощью коэффициентов корреляции, детерминации и статистических показателей достоверности. Конечно, регрессионный анализ занимает центральное место во всём математически-статистическом инструментарии эконометрики, но корреляция дает представление о причине и силе взаимосвязи отдельных факторов в экономических явлениях и дает основания для выявления формы взаимосвязи.

Во всякой модели есть факторные признаки, часть из которых носят количественный характер, другая часть – качественный характер. В связи с тем, что внешние факторы, используемые в модели и сильно коррелированные между собой, они должны быть заменены внутренними факторами, которые определяются поведением внешних факторов, и в целом экономическим процессом.

Регрессионный анализ позволяет выделить и обосновать форму и вид связи факторов и оценить достоверность и точность получаемых результатов моделирования и прогнозирования. На основании регрессионного анализа формируются регрессионные модели, отражающие реальные процессы и явления.

Регрессионные модели. Это модели построенные и верифицированные на основе уже имеющихся значений объясняющих переменных, может быть использована для прогноза значений зависимой переменной в будущем или для других наборов значений объясняющих переменных.

С помощью регрессионного анализа строится и проверяется модель связи между одной зависимой (т.е. эндогенной) и одной или более независимыми (экзогенными) переменными. Зависимая переменная обычно обозначается Y, а независимая, также называемая регрессором, - Х.

Направление причинной связи между переменными определяется через предварительное обоснование и включается в модель как гипотеза. Регрессионный анализ проверяет статистическую состоятельность модели при данной гипотезе.

В таких моделях зависимая переменная Y представляется в виде функции объясняющих переменных и случайных параметров

у = f (x,) = f(x₁,x₂,…,x_n, β₁,β₂,…,β_p)

где (x₁,x₂,…,x_n) - независимые (объясняющие) переменные, а (β₁,β₂,…,β_p) - параметры.

При моделировании экономических процессов имеются два типа данных: - пространственные данные; - временные ряды. Примером пространственных данных является, например, набор сведений по объему производства, количеству работников, доходу и др. по разным фирмам в один и тот же момент времени (пространственный срез).

В качестве самого уравнения связи факторов, обычно используются либо регрессионные уравнения как функция одного результативного признака от исходных показателей, либо систему уравнений связывающие результативные и исходные факторы.

Регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная у представляется в виде функции

у = f(x₁,x₂,…,x_n, β₁,β₂,…,β_p)

В зависимости от вида функции f(x,β), модели делятся на линейные и нелинейные. Например, можно исследовать спрос на мороженное как функцию от времени, температуры воздуха, среднего уровня доходов или зависимость зарплаты от возраста, пола, уровня образования, стажа работы и т.п. Применение таких моделей связаны с решением проблем теории оценивания, верификации, отбора значимых параметров и др. Эти модели являются базовыми и наиболее массовыми в эконометрике.

Системы одновременных уравнений. Эти модели описывают реальные процессы и явления и состоят из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может, кроме объясняющих переменных, включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы. Таким образом, здесь имеется набор объясняемых переменных, связанных через уравнения системы. Системы одновременных уравнений требуют относительно более сложный математический аппарат. Они могут использоваться для моделей страновой экономики, сложных явлений и процессов в отраслях и регионах и пр.

Например, модель спроса и предложения может быть сформулирована в виде следующей системы уравнений.

Пусть - спрос на товар в момент времени t (demand), - предложение товара в момент времени t (supply), - цена товара в момент времени t (price level), - доход в момент времени t (income). На основании этих данных составим следующую систему уравнений отражающих явление рыночного «спроса – предложения» и его равновесия:

(предложение),

(спрос),

(равновесие).

Цена товара и спрос на товар определяются из уравнений модели, т.е. являются эндогенными переменными. Предопределенными переменными в данной модели являются доход и значение цены товара в предыдущий момент времени .

В ходе развития моделей регрессионного анализа выделились четыре основные группы методов нахождения параметров уравнения регрессии:

• классическая линейная модель парной и множественной регрессии (или парный и множественный регрессионный анализ), с применением классического метода наименьших квадратов (МНК);

• обобщенная классическая линейная модель парной и множественной регрессии и обобщенный МНК;

• методы статистического анализа временных рядов (выделение тренда и других компонент);

• методы анализа систем одновременных уравнений (статистическое оценивание исходных наблюдений и найденных результатов, методы классификации и снижения размерности).

Говоря о процедурах анализа систем одновременных уравнений, надо иметь в виду, что любое сложное экономическое явление обычно не может адекватно описываться одним уравнением. То есть, при исследовании сложных экономических явлений отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может охарактеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Потому в экономических исследованиях важное место занимает проблема описания структуры связей между переменными системой, так называемых, одновременных уравнений, или структурных уравнений.

Так, при оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции. Особенно возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если от исследований на микроуровне необходимо переходить к исследованиям на макроуровне. Модель национальной экономики включает в себя систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, количество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего тесно взаимосвязаны. Расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода, а величина валового национального дохода, в свою очередь, рассматривается как функция инвестиций.

Построение таких уравнений проводится методами регрессионного анализа. А сам регрессионный анализ предваряется построением корреляционных моделей и используется в эконометрике для оценки уравнения, которое в наибольшей степени соответствует совокупности наблюдений зависимых и независимых переменных, и тем самым дающего наилучшую оценку истинного соответствия между этими переменными. С помощью оцененного таким образом уравнения можно предсказать, каково будет значение зависимой переменной для данного значения независимой переменной.

Простейшим примером регрессии является парная линейная регрессия всего одной зависимой переменной (например доход и потребительские расходы). Задача заключается в подборе линейной функции к совокупности данных, состоящей из пар наблюдений дохода и потребления. Линию, которая лучше всего подходит к данным, нужно выбирать так, чтобы сумма квадратов значений вертикальных отклонений точек от линии была минимальной. Этот метод, называемый методом наименьших квадратов, применяется при анализе большинства регрессий. Степень приближения регрессионной линии к наблюдениям измеряется коэффициентом корреляции. Там, где предполагается, что на зависимую переменную существенно влияет более чем одна независимая переменная, используется метод множественной линейной регрессии и определяется множественная корреляция.

В уравнение регрессии могут включаться переменные не только в первой, но и во второй и более высоких степенях – с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается минимаксное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности; по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности. То же можно сказать о воздействии многих социально-экономических переменных (например, возраста рабочих на уровень производительности труда или влияния дохода на потребление некоторых продуктов питания).

Уравнение регрессии, которое подбирается для каждой модели отражают реальные процессы и могут иметь следующие типы зависимостей.

y = a₀ + а₁x + e – линейная регрессия,

где х – независимый фактор (исходная переменная), у – результативный фактор, a₀ и а₁ – параметры уравнения, е – случайный показатель. В общем виде, при формализации обычно не используют случайную переменную, но имеют в виду её наличие. Тогда линейная регрессия будет имеет вид

y = a₀ + а₁x

y = a₀ + а₁/x - гиперболическая зависимость.

y = = a₀ + а₁ x + а₂x² - параболическая зависимость.

y = a₀x^а1 - степенная зависимость.

y = a₀ + а₁ * ln x - логарифмическая зависимость.

y = = a₀ + а₁ x + а₂x² + … + а_nxⁿ - многофакторная параболическая зависимость.

Методы статистического анализа временных (динамических) рядов используют временные (динамические) данные (ряды) и применяются для изучения и прогнозирования параметров, изменяющихся от времени, например, объема продаж продукции, спроса на сезонный товар (железнодорожные и авиабилеты), уровня изменения курса валют и ценных бумаг и пр. Это методы, исследующие поведение анализируемой величины на основе ряда наблюдений, сделанных в фиксированные промежутки времени.

Данные методы позволяют определить компоненты формируемой модели, а именно: тренд, сезонность, тренда и сезонности, а также модели, в которых присутствует долговременная циклическая компонента, формирующая изменение анализируемого признака. Эти изменения могут быть обусловлены действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы. Среди факторов, влияющих на значения временного ряда, выделяют, таким образом:

• долговременные, формирующие в длительной перспективе общую тенденцию анализируемого признака;

• сезонные, формирующие периодически повторяемые в определенное время года колебания анализируемого признака;

• циклические, формирующие изменения анализируемого признака в результате воздействия циклов;

• случайные, не поддающиеся учету и регистрации, как результат воздействия случайных, внешних факторов.

Оценка указанных факторов позволяет построить закономерности поведения процесса во времени и провести его прогнозирование.

В литературе выделяют три основных класса моделей динамических (временных) рядов, которые применяются для анализа и прогноза:

- модель тренда, вида:

где Т(t) – временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный Т(t) = а + bt); - случайная (стохастическая) компонента;

- модель сезонной тенденции, вида: у(t) = S(t) + ,

где S(t) – периодическая (сезонная) компонента.

- модель тренда и сезонности:

у(t) = Т(t) + S(t) + (аддитивная) или

у(t) = Т(t)*S(t) + (мультипликативная),

К моделям временных рядов относится множество более сложных моделей, таких, как комбинированная модель, адаптивная модель прогноза, модели авторегрессии и скользящего среднего (ARIMA) и др. Их общей чертой является то, что они объясняют проведение временного ряда, исходя только из его предыдущих значений. Такие модели могут применяться, например, для изучения и прогнозирования объема продаж , динамики спроса на продукцию, краткосрочного прогноза параметров финансовых процессов (процентных ставок и т.п.).

Модели теории массового обслуживания применяются для определения технологических процессов, их очередности, продолжительности операций.

Статистическое моделирование базируется на использование методов статистики при наблюдении и оценке явлений и процессов. Метод статистического моделирования предполагает использование некоторого статистического ряда наблюдений за реально протекающими процессами и явлениями. Основной целью построения таких моделей является определение закономерности изменения выходной переменной при изменениях входных факторов.

Статистические методы по точности (величине ошибки аппроксимации) и используемых методах вычисления исследуемых закономерностей, делятся на аппроксимирующие (теоретические, статистические) и функциональные зависимости. Использование таких функций позволяет подобрать некоторую стандартную зависимость для аппроксимации ряда входных параметров и выявления закономерностей. В качестве таких стандартных функций могут быть использованы как линейная функция, так и ряд нелинейных зависимостей. На основе полученных функций проводятся теоретические исследования взаимосвязанных входных и выходных параметров и выявляют закономерности протекания исследуемых процессов.

Статистические модели включают в себя четыре основные группы моделей:

- модели, основанные на получении информации разного качества, точности и достоверности: - аналитические (на базе априорной информации) и - идентифицируемые (на базе экспериментальной информации) модели;

- модели статистического анализа, которые описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени;

- модели в виде производственных функций, это зависимости, которые уже определены для некоторых явлений, процессов и внешних факторов, и требуют только настройки (уточнения) отдельных параметров модели;

- модели временных рядов, которые позволяют выявить регулярные и периодические тренды в динамике явлений и процессов.

Рассмотрим некоторые из представленных видов статистических моделей.

Модель в виде производственной функции – это заранее выявленная зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов. В практике эконометрического моделирования, для оценки роли отдельных факторов выпуска продукции, используется математическая формула (функциональная зависимость), показывающая зависимость объема созданной продукции от функционирования основных факторов производства, их количественного и качественного состава. Эта зависимость получила название производственной функции и, на микроуровне, выражает техническое соотношение между количеством факторов, используемых производителями, и объемом полученной продукции. В самом общем виде эта зависимость может быть представлена следующим образом:

У = f (х₁, х₂,…,х_n),где У – объем продукции; х₁, х₂,…,х_n – факторы производства.

При этом различают факторы внутренние (эндогенные) и внешние (экзогенные).

Действия экономических механизмов можно проиллюстрировать на рис. 3.6, отображающего линии уровня функции двух переменных z = f(x,y) [3,15,21].

Рисунок 3.6. Иллюстрацию производственной функции Кобба-Дугласа

Содержание действия этих механизмов следующая. Пусть х и у – два различных фактора производства, а функция z = f(x,y) характеризует выпуск продукции, который позволяют значения факторов х и у. На рис.1 линии уровня f(x,y) = Q изображены сплошными линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что выделяемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т.е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область – это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим. Очевидно, что все «разумные» значения х и у принадлежат экономической области.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть z = f(x,y) – функция издержек, характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов х и у (часто можно считать, что функция издержек линейная: g(x,y) = p_xx + p_yy, где р_х и р_у – «цены» факторов х и у). Комбинации линий уровня функции f(x) и g(x) позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов х и у. Очевидно, например, что пара значений (х₁,у₁) более предпочтительна, чем пара (х₂,у₂), т.к. обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов будут значения (х₀,у₀) – координаты точки касания линии уровня функции выпуска и функции издержек. Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость.

Для более углубленного анализа динамики экономического роста на макроуровне была изучена взаимосвязь между объемом производства и его различными факторами. Первым вариантом явилась производственная функция Кобба – Дугласа, показывающая зависимость общего выпуска продукции от двух факторов: капитала и труда.

Полагаем для простоты n = 2 (z – величина общественного продукта, х₁ – затраты труда, х₂ – объем производственных фондов), тогда функция Кобба-Дугласа определяется:

z = b₀x₁ ^b1x₂^b2

В дальнейшем было учтено также влияние третьего фактора – технического прогресса и в итоге модель Кобба – Дугласа приняла следующий вид:

У = А  Ка Lв Еrt,

где У – объем выпуска продукции; А – коэффициент сопряжения размерности элементов формулы; К – затраты капитала; а – коэффициент, характеризующий прирост объема выпуска продукции, приходящейся на 1% прирост капитала; L – затраты труда; в – коэффициент, характеризующий прирост объем выпуска продукции, приходящийся на 1% прироста затрат труда; Е – фактор, отражающий влияние технического прогресса (r) и времени (t).

Теория игр. Модели, основанные на применении инструментария теории игр помогают при решении задач оптимального стимулирования, моделирования деятельности фирмы с учетом различных целевых функций у участников деятельности (собственник, менеджер), анализа и тенденции развития рынков сбыта и др.

Теория массового обслуживания. Модели, основанные на применении инструментария теории массового обслуживания применяются для определения видов и интенсивности технологических процессов, применения операций и оснастки, их очерёдности и продолжительности операций технологического процесса, определения оптимального уровня запасов.

Дисперсионный анализ предназначен для обработки и соответствующего прогнозирования экспериментальных данных, зависящих только от качественных факторов. Сущность его состоит в том, чтобы разложить дисперсию результата на независимые составляющие эксперимента, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора на результат. Сравнения этих составляющих дисперсий есть оценка существенности этих факторов.

Теория запасов служит для решения задач по оптимизации установленных размеров оборотного фонда, оперативно-календарного планирования, оптимизации величины заделов.

Теория игр и статистических решений помогает при решении задач оптимального стимулирования, моделирования работы фирмы, анализа и тенденций развития рынков сбыта и др.

Теория расписаний – это раздел дискретной математики, занимающийся проблемами упорядочения. В общем случае задача определяется нахождением некоторого множества работ (требований) с определенным набором характеристик (стоимость обработки требования, длительность обработки требования, момент поступления требования). Требуется максимизировать/минимизировать стоимость работ/время задержки и т. п.

Задачи теории расписаний можно разделить на 2 группы:

• задачи с прерываниями (когда в момент поступления нового требования — старое требование может прерваться)

• задачи без прерываний (то есть каждое требование выполняется до конца без прерываний).

Существуют различные варианты задач теории расписаний, часть из них является NP-полными, часть принадлежит к классу полиномиальных задач, для части задач так и не удалось доказать принадлежности к какому-либо классу сложности. Существует гипотеза, что задача, допускающая прерывания, не сложнее задачи без прерываний. Для большинства задач она соблюдается, кроме одной, где для варианта без прерывания доказана его принадлежность к классу полиномиальных задач, в то время как для аналогичной задачи с прерываниями не существует доказательств принадлежности к какому-либо классу сложности.

Модели теория информации. Теория информации – это раздел математики, исследующий процессы хранения, преобразования и передачи информации. В основе его лежит определенный способ измерения количества информации. Возникшая из задач теории связи, теория информации иногда рассматривается как математическая теория систем передачи информации. Основные свойства информации можно описать с помощью математической модели, отражающей многие характерные особенности информационной меры, как она обычно понимается на интуитивном уровне.

Данная категория (информация) вошло в употребление с подачи Клода Шеннона, который ввел этот термин в узком техническом смысле, применительно к теории связи. В настоящее время наполнение этого термина получило гораздо более глубокий смысл. И это не случайность, а следствие того, что только в последние десятилетия выявилась необходимость осознанной организации процессов движения и обработки того, что имеет общее название «информация». Информация имеет общие свойства и закономерности, знание которых может оказаться полезным в изучении каждой конкретной реализации этого явления.

Под понятием экономическая информация понимают результат взаимодействия в процессе управления некоторыми объектами в экономической системе, в результате которого происходит обмен/передача некоторых сведений о состоянии и функционировании системы и её элементов.

Источник информации и канал связи, по которому передается информация, можно моделировать, используя вероятностные представления. Энтропия источника информации равна логарифму (эффективного) числа сообщений, которые он порождает. Это – мера сложности описания источника (или, как иногда говорят, мера неопределенности сообщения).

Однако, в экономических системах, информация как ресурс управления интересен не столько его количественными параметрами сколько содержательными, т.е его смыслом (семантикой). Поэтому в теории информации можно выделить направление, связанной с кодированием и передачей сообщений, и направление изучающее значение (семантику) передаваемого сообщения и его интерпретацию пользователем информации.

Модели теории надёжности. Теория надежности – это наука, изучающая закономерности распределения отказов технических устройств, причины и модели их возникновения. Теория надежности изучает методы обеспечения стабильности работы объектов (изделий, устройств, систем и т.п.) в процессе проектирования, производства, приемки, эксплуатации и хранения. Устанавливает и изучает количественные показатели надежности. Исследует связь между показателями эффективности и надежности. Базой математического аппарата теории надежности являются: - теория вероятностей; - математическая статистика; - математическая логика; - теория случайных процессов; - теория массового обслуживания; - теория графов; - теория оптимизации; - и др.

Теория надежности  изучает процессы возникновения отказов в экономических, технических и других системах. Состояние объекта, при котором значения хотя бы одного заданного параметра, характеризующего способность выполнять системные функции, не соответствует требованиям, установленным нормами, называют неработоспособным.

      Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности, т.е. в переходе в неработоспособное состояние.       Обычно неработоспособность – состояние, при котором нельзя начинать применение объекта, например, (в экономике – это банкротство и близкие неустойчивые состояния. Отказом считается невыполнение хотя бы одной из функций независимо от того, возникла ли случайная ситуация в которой требуется выполнение этой функции, или нет.

Пусть состоящая из n элементов система предназначена для выполнения нескольких k функций. Функционирование такой системы может быть представлено как процесс изменения вектора состояний Z(t) в пространстве состояний [x(t), y(t)]. Где x_i– состояние i-го элемента системы, i=1,2,…,n; y_j– переменная, характеризующая потребность в выполнении  j-ой функции, j=1,2,…,k.

      Обычно предполагается, что отдельные координаты вектора Z(t) являются независимыми случайными функциями времени (наработки), принимающими одно из двух возможных значений:

 

 

Искомые показатели «надежности» находят как числовые характеристики некоторого функционала от случайного процесса Z(t). Понятие функционала является обобщением понятия функции.  Функционал Ф определен на процессе Z(t), если каждой траектории z(t) ставится в соответствие некоторое число Т=Ф[z(t)]. В рассматриваемом случае найденные показатели «надежности» характеризуют не техническую систему, а ситуацию по удовлетворению случайного спроса.

К числу показателей надежности относятся: - функция надежности p(t); -  плотность распределения наработки до отказа f(t); - интенсивность отказов l(t).

Функцией надежности называют функцию, выражающую вероятность того, что Т – случайная наработка до отказа системы – будет больше заданной наработки (0,t), отсчитываемой от начала эксплуатации, т.е. p(t)=P{T_іt}.

Перечислим некоторые очевидные свойства p(t):

- p(0) = 1, т.е. можно рассматривать безотказную работу лишь тех объектов, которые были работоспособны в момент включения;

- p(t) является монотонно убывающей функцией заданной наработки t;

- любая система с большой вероятностью, со временем откажет.

Наряду с p(t) используется функция ненадежности q(t) = 1 - p(t) = P{T<t}.