3.1. Обобщенная классификация и характеристика простых эконометрических моделей

В соответствии с выделенными обобщенными признаками: - сложность построения модели, методология формирования модели; - инструментарий моделирования, экономические модели, в самом общем виде можно разделить на «простые» и «сложные» структуры модели.

Под простыми моделями будем понимать модели, в которых:

- переменных, отражающих исходные факторы немного;

- сами переменные могут отражаться в виде обобщенных показателей;

- все связи между переменными отражаются функциональными отношениями;

- сами связи характеризуют типовые устойчивые экономические взаимоотношения между параметрами исследуемых явлений и процессов.

Тем самым простые модели предполагают исследование экономических явлений и процессов по небольшому количеству связываемых функциональными отношениями параметров (простейшими финансово-экономическими функциональным связями) с типовыми методами определения параметров модели. Обычно, в качестве параметров используются измерители, выраженные в виде обобщенных или интегральных показателей. В зависимости от того, каким образом определён такой обобщенный показатель, в группе простых моделей можно выделить модели, построенные на основе: - средних (средневзвешенных) показателей, - индексных параметров, - показателей динамики.

Особой группой простых моделей можно выделить класс формирования финансовых моделей, которые строятся при оценке различных бизнес-процессов, проектов, финансовых отношений между контрагентами.

Обобщенная структуризация группы простых моделей может быть представлена в виде следующей структуры (рис.3.2).

Рисунок 3.2. Систематизация «простых» эконометрических моделей.

В соответствии с данной классификацией, простые модели можно разделить на группу моделей, которые базируются на выделении и оценке обобщающих показателей, отражающих экономический процесс или явление, и модели, которые отражают финансовые аспекты простых экономических процессов. В свою очередь модели, использующие обобщающие показатели разделяют, по виду этих обобщенных показателей, на: - модели, в которых обобщающий показатель определяется как средняя величина; - модели, в которых показатель определён в виде индекса ((индексные модели)); - модели, базирующиеся на вариативных показателях (показателях динамики). Рассмотрим несколько подробнее данную группу.

3.1.1. Модели обобщающих показателей

Модели использующие обобщающие показатели представляют собой простые эконометрические модели, в которых исходными факторами являются обобщенные признаки, отражающие не абсолютные значения экономического процесса, а показатели в относительных единицах. Для получения таких показателей обычно используются разные приемы обобщения и соответствующие шкалы, в которых проводится измерение признаков исследуемой модели. Такие обобщающие показатели, вычисляются на базе наблюдаемых абсолютных значений признака по различным правилам обобщения данных. И обычно применяются следующие виды обобщающих показателей: - средние значения наблюдаемых данных, - индексные показатели и показатели отражающие динамику процессов.

1. Показатели среднего уровня. Одними из наиболее распространенных, являются модели, в которых используются измерители - диагностические признаки в виде показателя средней величины. Они используются для сопоставления разных совокупностей по изменяющемуся признаку. Показатель среднего уровня обобщает количественную вариацию исследуемого признака и отражает типичный уровень изучаемого признака. Такие показатели широко применятся при анализе экономических явлений и находят применение при обобщении основных тенденций.

Показатель средней, рассчитанный на основе некоторой совокупности в целом, называется общей средней и отражает общие черты изучаемого явления или процесса.

Средняя, исчисленная для некоторой группы, называется групповой средней и даёт обобщенную характеристику процесса или явления, складывающихся в конкретных условиях и ограничениях.

Обычно выделяют две категории обобщенных показателей при формировании средних величин – степенные и структурные средние.

Выбор того или иного типа средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера изменения исходных данных и самих имеющихся данных наблюдения.

1.1. Степенные средние, разновидностями которой являются показатели, вычисляемые по наблюдаемым статистическим данным. Они определяются как отношение суммы варьируемого признака к общему объёму наблюдений за признаком. В зависимости от способа вычисления средней величины выделяют: - среднюю арифметическая, - среднюю гармоническую, - среднюю геометрическую, - среднюю экспоненциальную, - среднюю квадратическую, и пр.

Различные виды показателя среднего уровня используются для разных несложных задач и целей.

1.1.1. Средняя арифметическая, используется в тех случаях, когда объем признака, определяется как сумма отдельных величин отнесенных к количеству наблюдений, показатели которых можно суммировать.

Средняя арифметическая, в общем виде определяется следующей формулой:

,

где n – число единиц совокупности.

При вычислениях средней арифметической используются различные приемы в зависимости от имеющихся параметров наблюдения. Приемы расчета предполагает следующее:

Если имеются значения варьирующего ряда, то суммирование значений признака определяет объем признака и его относят к количеству единиц в совокупности;

Если известны не отдельные значения признака, а известен объем признака и его численность, то соотносят объем к числу.

Если в ряду значений имеется несколько признаков, имеющих одинаковый уровень (абсолютное или относительное значение), то используется средняя, вычисленная на базе частоты проявления отдельных признаков, f_j. Средняя, рассчитанная на базе использования частоты называется средней арифметической взвешенной.

То есть, если выборка наблюдения задана в виде таблицы,

xi	x1	x2	...	xm
fi	f1	f2	...	fm

где f_i – частота значения переменной х. То при f = f₁ + f₂ +...+ f_m , с учетом того, что сумма частот равна f = , средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле:

1.1.2. Средняя гармоническая, используется в тех задачах, когда известны не абсолютные, а обратные значения средних величин и её значение определяется как сумма обратных значений в расчете на одно наблюдение.

Среднее гармоническое чисел (x₁, x₂, ..., x_n ) – это число, обратная величина которого является средним арифметическим обратных величин данных чисел, т. е. число

или

Среднее гармоническое необходимо в том случае, когда наблюдения, для которых мы хотим получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

1.1.3. Средняя квадратическая величина, формируется как сумма квадратов отдельных значений наблюдения в расчете на одно наблюдение. Среднее квадратическое (квадратичное) — это число s, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел (х₁,х₂,...,х_n).

Если известна выборка наблюдений из n значений, уровни которых - х_j определены в некотором порядке, {х₁, х₂, х₃,…х_n}, то обобщенные показатели в виде средней квадратической величины рассчитывается так.

Среднее квадратическое  является частным случаем среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

Среднее квадратическое находит широкое применение при моделировании и анализе явлений и процессов. В частности, через него определяется основные понятия теории вероятностей и математической статистики — дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1.1.4. Средняя геометрическая, определяется как корень произведения отдельных значений наблюдения в расчете на одно наблюдение. Среднее геометрическое положительных чисел (x₁, x₂, ..., x_n ) - это число, равное арифметическому корню n-й степени из их произведения значений наблюдаемого ряда, т. е.

или

.

Среднее геометрическое используют когда:

- значения заданы через некоторые равные промежутки времени (рост или снижение успеваемости, заработной платы, вклада в банке за несколько лет);

- переменная с течением времени изменяется примерно с одинаковым соотношением между измерениями;

- отдельные значения в статистической совокупности удалены от других значений ( это меньше влияет на среднее геометрическое по сравнению со средним арифметическим, а потому дает более правильное представление о среднем).

Среднее геометрическое - это такое число, для некоторого ряда наблюдений, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным^.

Если каждое значение исследуемого признака встречается несколько раз в наборе, т.е. признак х_i имеет вес w_i , то вычисляется величина в виде среднего геометрического взвешенного.

Среднее геометрическое взвешенное набора чисел с весами определяется как

Если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

Геометрическая интерпретация среднего геометрического определяет высоту прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, где среднее пропорциональное есть отношение проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Рисунок 3.3. Геометрическая интерпретация среднего геометрического двух

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух отрезков. Для реализации этого способа нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью даст искомую величину.

На рис.3.3, высота ВН определяется корнем квадратным произведения проекций катетов (АН и НС) на гипотенузу АС, т.е.

1.2. Структурные средние, это показатели среднего, значения которого не вычисляются по выборке наблюдений, а выбираются из формируемой выборки наблюдений по определенным правилам. В зависимости от правила выбора, выделяют такие структурные средние как: - мода, - медиана. Структурные средние (мода и медиана) характеризуют величину варианта, занимающего определённое положение в ряду.

Медиана соответствует значению признака, стоящему в середине ранжированного ряда значений. Положение медианы определяется её номером в ряду наблюдений

, где n – число единиц совокупности.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в наблюдаемой совокупности и определяется по формуле:

,

где - начало модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- предмодальная частота;

- послемодальная частота.

2. Индексные модели относят к моделям обобщающих показателей и применяют для исследования данных, состоящих из разнородных элементов. Они предполагают использование обобщающих показателей, на основе которых проводится сопоставление отдельных групп либо одного показателя за различные периоды, либо показателей различных территорий. Для сравнения совокупностей наблюдений экономические модели используют специальные показатели – индексы.

Индексы – это обобщающий показатель сравнения двух наблюдаемых совокупностей, состоящих из элементов не поддающихся прямому суммированию. В зависимости от содержания и характера индексирующей величины различают индексы количественных показателей (индекс объёма продукции) и индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости), производительности труда; зарплаты.

При вычислении индексов различают два способа расчёта индексов – цепной и базисной.

Цепные индексы получают сопоставлением текущих уравнений с предшествующим. Базисные индексы получают сопоставлением уравнения с периода, принятого за базу сравнения. Индексы применяют для сравнения по трем направлениям:

- когда один период времени сравнивается с другим. В этом случае индексы являются показателями динамики;

- когда сравнивают одно предприятие с другим, одну территорию с другой за одинаковый период времени. Такие показатели называются территориальными;

- когда сравнивают фактически достигнутые показатели с запланированными. В этом случае индексы выступают как показатель выполнения плана. По всем этим направлениям выделяют базисное значение и отчетное значение. За базисный считается предыдущий период, а за отчетный текущий.

При территориальных сравнениях за базу принимают данные по какой-либо одной части территории (например, при региональных сопоставлениях внутри России) или итоговый показатель по всей изучаемой территории в целом, как это имеет место в международных сопоставлениях. При использовании индексов как показателей выполнения плана за базу сравнения принимаются плановые показатели. В зависимости от методологии расчёта различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов, которые делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы. Индивидуальный индекс показывает, во сколько раз изменилось производство данного вида продукции в отчётном периоде по отношению к периоду, с которым проводилось сравнение.

При формировании территориальных индексов за базисный выделяют свою территорию, а за отчетный другие. Для исчисления индексов используются следующие значения:

g – определяет количество продукции;

p – цена продукции;

z – себестоимость единицы продукции;

t – трудоемкость.

Индексы обычно группируют по трем признакам: - характеру изучения объекта; - степени охвата элемента в совокупность; - методологии расчета.

1. По характеру изучаемых объектов индексы делятся:

• Индексы объема показателей, которые отражают объем или размеры явлений.

• Индексы качественных показателей, которые характеризуют уровень какого- либо явления.

2. По степени охвата элемента в совокупности, выделяют три основные группы:

• Индивидуальные индексы;

• Групповые или субиндексы;

• Общие индексы.

Индивидуальные индексы дают сравнительный характер одного элемента. Групповые харак. изменения какой – либо части или группы совокупности. Общие индексы применяются при сравнении характерного изменения всей совокупности.

3. По методологии расчета группируют на следующие методы:

• Исчисление агрегатных индексов;

• Вычисление средних.

Сферы применения индексов. Показатели в индексных характеристиках используются при оценки динамики показателей, при сравнительном анализе различных террит. образований, при временном сравнении групп различных показателей друг с другом. Существование индексов позволяет привести к сравнительным базовым характеристикам. Разнородные данные используются при моделировании динамики процессов.

При вычислении индексов различают два способа расчёта индексов – цепной и базисной.

Цепные индексы получаются сопоставлением текущих уравнений с предшествующим. Базисные индексы задают сопоставлением текущего уравнения с уровнем периода, принятого за базу сравнения.

При территориальных сравнениях за базу принимают данные по какой-либо одной части территории (например, при региональных сопоставлениях внутри России) или итоговый показатель по всей изучаемой территории в целом, как это имеет место в международных сопоставлениях. При использовании индексов как показателей выполнения плана за базу сравнения принимаются плановые показатели.

В зависимости от методологии расчёта различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов, которые делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы. Индивидуальный индекс показывает, во сколько раз изменилось производство данного вида продукции в отчётном периоде по отношению к периоду, с которым проводится сравнение.

Для вычисления индивидуальных индексов динамики определяют отношение объёма выпуска продукции отчётного периода к объёму выпуска в предшествующем периоде.

При формировании агрегатных индексов используют различные соизмерители, в качестве которых используются различные показатели, например: цена, себестоимость, трудоёмкость. В этом случае характеристика базисного и отчётного показателя умножается на соизмеритель.

- индекс физического объёма, которые характеризуют количество продукции, выраженное в ценах прошлого года.

Если в качестве соизмерителя используется себестоимость, то вместо цены ставится себестоимость:

- агрегатный индекс себестоимости

- агрегатный индекс трудоёмкости

Для определения индексов различных цен применяют средний взвешенный гармонический индекс.

Для изучения динамики показателя за ряд периодов возможно вычисление системы ценных и базисных индексов. Расчёт такой системы индексов осуществляется в двух вариантах.

По одному из них сравнивают размер показателя в различные периоды с уровнем того же показателя в какой-то определенный период. Такие индексы называются базисными.

По второму варианту оценивают относительное изменение уровня изучаемого явления по сравнению с предшествующим периодом – это цепные индексы.

Так как индексы применяются для характеристики изменения уравнения сложных экономических показателей, а так же в аналитических целях для оценки влияния на результативный показатель изменения факторов, его формирующих.

3. Модели показателей динамики экономических явлений. Для количественной оценки динамических моделей применяются обобщенные стати­стические показатели в виде: - абсолютных приростов, - темпов роста, - темпов прирос­та. В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда.

В соответствии с правилами расчета этих показателей, они также могут разделяться на цепные, базисные и средние. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каж­дый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными. А средние показатели рассчитываются исходя из правил вычисления среднего значения при сравнении уровней наблюдаемого ряда. Для получения обобщающих показателей динамики развития также опре­деляются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Обобщенные правила расчета показателей динамики такие.

Абсолютный прирост, обозначается как Δу и равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста – Т, характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста - К характеризует абсолютный прирост и выражается в относитель­ных величинах. Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

Определяя правила расчета, используем следующие обозначения: (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n) -уровни временного ряда за период наблюдения t = l, 2, ...,n; n - длина временного ряда; у_б – (базовое значение) уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

В табл. 3.1. приведены выражения для вычисления базисных и цепных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста.

Таблица 3.1. Основные показатели динамики

	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной	Δ уt = уt – yt-1		Kt = Tt – 100%
Базисный	Δ убt = уt – yб		Kбt = Tбt – 100%
Средний

Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответст­вует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, доста­точно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста.

где у_n – фактическое значение в последней n-ой точке ряда,

- прогнозная оценка значения уровня в точке n+1

- значение среднего прироста, рассчитанное для ряда (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n).

Такой подход будет адекватен, если характер развития ряда будет близок к линейному виду. Равномерность развития может быть подтверждена примерно одинаковыми значениями цепных абсолютных приростов.

Применение средних темпов роста и прироста для описания динамики ряда соответствует показательной или экспоненциальной кривой роста, проведенные через две крайние точки. В этой связи применение этих показателей в качестве обобщающего, целесообразно для тех процессов и явлений, для которых изменение динамики происходит примерно с одинаковым темпом роста.

В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед получают по следующей формуле

где у_n – фактическое значение в последней n-ой точке ряда,

- прогнозная оценка значения уровня в точке n+i

- значение среднего темпа роста, рассчитанное для ряда (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n).

К недостаткам этих обобщающих показателей можно отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключая влияние промежуточных значений. Тем не менее, они широко используются в силу простоты вычисления и получения приблизительных прогнозов.